Question

Помогите пожалуйста вычислить двойной интеграл по области D,ограниченной указанными линиями Двойной интеграл (x+y)dxdy D:y^2=x,y=x

Answer 1

$></p> <p>Найдём точки пересечения графиков функций, для этого решим систему:</p> <p><img src=$

Answer 2

Для вычисления двойного интеграла ∬_D (x + y) dxdy по области D, ограниченной линиями y^2 = x и y = x, следует сначала определить границы интегрирования.

Для этого найдем точки пересечения кривых y^2 = x и y = x:

1. Поставим уравнения в систему: y^2 = x и y = x.
2. Подставим уравнение y = x в уравнение y^2 = x: x^2 = x.
3. Перепишем уравнение в виде x^2 - x = 0 и решим квадратное уравнение.
4. После нахождения корней, определим интервалы значений x и y для интегрирования.

Итак, найдем точки пересечения:

x^2 - x = 0

Факторизуем:

x(x - 1) = 0

Таким образом, у нас две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Теперь определим интервалы значений y для интегрирования:

Для линии y^2 = x: y = ±√x

Для линии y = x: Так как x = 0 и x = 1, соответственно, y = 0 и y = 1.

Теперь можем записать двойной интеграл:

∬_D (x + y) dxdy

Границы интегрирования: x: от 0 до 1 y: от 0 до √x (верхняя граница) и от -√x (нижняя граница) до x (верхняя граница линии y = x).

Теперь вычислим этот двойной интеграл:

∬_D (x + y) dxdy = ∫[0 to 1] ∫[-√x to √x] (x + y) dy dx

Вычислим первоинтеграл по y:

∫ (x + y) dy = xy + 1/2 * y^2

Подставим границы интегрирования по y:

∫[-√x to √x] (x + y) dy = x√x + 1/2 * (√x)^2 - x(-√x) - 1/2 * (-√x)^2 = x√x + 1/2 * x - x(-√x) - 1/2 * x = x√x + 1/2 * x + x√x - 1/2 * x = 2x√x

Теперь вычислим второй интеграл по x:

∫[0 to 1] 2x√x dx

Вычислим первоинтеграл по x:

∫ 2x√x dx = 2 * (1/3) * x^(3/2) = (2/3) * x^(3/2)

Подставим границы интегрирования по x:

∫[0 to 1] 2x√x dx = (2/3) * 1^(3/2) - (2/3) * 0^(3/2) = 2/3

Таким образом, двойной интеграл ∬_D (x + y) dxdy по области D, ограниченной линиями y^2 = x и y = x, равен 2/3.