Question

Вычислить двойной интеграл по области D. Область D ограничена линиями: y = 0; y = x; x = 1 (x^2+5y)dx dy

Answer 1

Область інтегрування дивіться на малюнку. Будуємо графіки і знаходимо цю область. Тому далі вичислимо подвійний інтеграл.

$\displaystyle \iint_D\Big(x^2+5y\Big)dxdy=\int\limits^1_0dy\int\limits^1_y\Big(5y+x^2\Big)dx=\int\limits^1_0\Bigg(5xy+\dfrac{x^3}{3}\Bigg)\bigg|^1_ydy=\\ \\ \\ =\int\limits^1_0\Bigg(5y+\dfrac{1}{3}-5y^2-\dfrac{y^3}{3}\Bigg)dy=\Bigg(\dfrac{5y^2}{2}+\dfrac{y}{3}-\dfrac{5y^3}{3}-\dfrac{y^4}{12}\Bigg)\bigg|^1_0=\\ \\ \\ =\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{13}{12}$

Answer 2

Чтобы вычислить двойной интеграл по области D, необходимо представить его в виде последовательного интегрирования по переменным x и y. Первым шагом будет вычисление интеграла по переменной x, а затем интеграла по переменной y.

Область D ограничена линиями y = 0, y = x и x = 1. Значит, она представляет треугольник с вершинами в точках (0, 0), (1, 0) и (1, 1).

Для вычисления двойного интеграла ∬D (x^2 + 5y) dA, где dA - элемент площади, мы сначала проинтегрируем функцию по переменной x от x = 0 до x = 1, а затем по переменной y от y = 0 до y = x.

Итак, начнем с интегрирования по переменной x:

∫[0 to 1] (x^2 + 5y) dx

= [1/3 * x^3 + 5yx] [0 to 1]

= (1/3 * 1^3 + 5y * 1) - (1/3 * 0^3 + 5y * 0)

= (1/3 + 5y) - 0

= 1/3 + 5y

Теперь проинтегрируем полученную функцию 1/3 + 5y по переменной y от y = 0 до y = x:

∫[0 to x] (1/3 + 5y) dy

= [1/3 * y + 5/2 * y^2] [0 to x]

= (1/3 * x + 5/2 * x^2) - (1/3 * 0 + 5/2 * 0^2)

= 1/3 * x + 5/2 * x^2

Итак, двойной интеграл по области D равен:

∬D (x^2 + 5y) dA = ∫[0 to 1] ∫[0 to x] (x^2 + 5y) dy dx = ∫[0 to 1] (1/3 * x + 5/2 * x^2) dx = ∫[0 to 1] 1/3 * x + 5/2 * x^2 dx = [1/6 * x^2 + 5/6 * x^3] [0 to 1] = 1/6 * 1^2 + 5/6 * 1^3 - (1/6 * 0^2 + 5/6 * 0^3) = 1/6 + 5/6 = 6/6 = 1.

Таким образом, двойной интеграл по области D (x^2 + 5y) dA равен 1.