Question

Найти производную y=x^1/x

Answer 1

Ответ:

Производная у = ( у ) ' = ( x - 1 / x ) ' = ( x ) ' - ( 1 / x ) ' = 1 * x ^ ( 1 - 1 ) - ( x ^ ( - 1 ) ) ' = 1 * x ^ 0 - ( - 1 * x ^ ( - 1 - 1 ) ) = x ^ 0 - ( - x ^ ( - 2 ) ) = 1 - ( - 1 / x ^ 2 ) ;

Пошаговое объяснение:

получаем:

1 - ( - 1 / x ^ 2 ) = 1 + 1 / x ^ 2 ;

Ответ: у ' = 1 + 1 / x ^ 2.

Answer 2

Для нахождения производной функции $y = x^{1/x}$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и правило дифференцирования степенной функции. Перепишем функцию в виде $y = e^{\frac{1}{x}\ln(x)}$, где $e$ - основание натурального логарифма. Теперь можем приступить к дифференцированию:

1. Рассмотрим функцию $u = \frac{1}{x}$ и $v = \ln(x)$. Их производные:

   $$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}, \quad \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}.$$

2. Теперь применим цепное правило:

   $$\frac{dy}{dx} = e^{\frac{1}{x}\ln(x)} \left(\frac{du}{dx}\ln(x) + \frac{dv}{dx}\frac{1}{x}\right).$$

3. Подставим значения производных:

   $$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \left(-\frac{1}{x^2}\ln(x) + \frac{1}{x^2}\right).$$

4. Упростим выражение:

   $$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln(x)}{x^2}.$$

Таким образом, производная функции $y = x^{\frac{1}{x}}$ равна:

$$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln(x)}{x^2}.$$