Question

Доведіть що значення виразк 13^40 -13^39-13^38 делиьься на 31​

Answer 1

Якщо ми хочемо переконатися, що значення виразу 13^40 -13^39-13^38 ділиться на 31, то ми можемо провести ділення цього виразу на 31 і перевірити, що результат рівний 29. Для цього ми можемо використати следуючу формулу:

(13^40 -13^39-13^38) / 31

= ((13^2)^20 - (13^2)^19 - (13^2)^9) / 31

= ((169^20 - 169^19 - 169^9) / 31

= (31^2 - 31 - 31) / 31

= (961 - 31 - 31) / 31

= 899 / 31

= 29

Таким чином, ми дійсно отримали результат ділення рівний 29, що свідчить про те, що значення виразу 13^40 -13^39-13^38 ділиться на 31.

Якщо ж ми хочемо переконатися, що результат ділення справді рівний 29, то ми можемо перевірити це, помноживши 29 на 31:

29 * 31 = 899

Отже, результат ділення рівний 29, і це справді перевірено.

Answer 2

Щоб довести, що вираз $13^{40} - 13^{39} - 13^{38}$ ділиться на 31, ми можемо скористатися арифметикою залишків (теорема Шестакова-Літтла).

Зауважте, що $13^{40} - 13^{39} - 13^{38} = 13^{38} \cdot (13^2 - 13 - 1)$. Тепер перевіримо, чи кожен з членів $13^2 - 13 - 1$ і $13^{38}$ є кратним 31:

1. $13^2 - 13 - 1 = 169 - 13 - 1 = 155 - 1 = 154$.

2. Тепер розглянемо $13^{38}$. Поділимо показник на 31, щоб знайти залишок:

   $38 \div 31 = 1 \text{ з залишком } 7$

   Тепер ми можемо переписати $13^{38}$ у вигляді $13^{31 \cdot 1 + 7}$.

   За теоремою Шестакова-Літтла:

   $a^{pq + r} \equiv a^r \pmod{p}$

   де $a$, $p$, $q$ і $r$ - цілі числа, і $p$ - просте число.

   У нашому випадку $a = 13$, $p = 31$, $q = 1$ і $r = 7$:

   $13^{31 \cdot 1 + 7} \equiv 13^7 \pmod{31}$

   Тепер обчислимо $13^7$:

   $13^7 = 62742241$

Так як $154$ і $62742241$ обидва не мають залишку при діленні на $31$, то можна сказати, що обидва члени $13^2 - 13 - 1$ і $13^{38}$ діляться на $31$.

Отже, $(13^{40} - 13^{39} - 13^{38})$ ділиться на $31$.