Question

Знайдіть об'єм тіла, отриманого обертанням вказаних ліній x=y^2. y=x, навколо осі ox

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Формула для расчета объема тела вращения вокруг оси ОХ

$\displaystyle V=\pi \int\limits^b_a {y^2(x)} \, dx$

Выполним построение тела вращения

Найдем точки пересечения графиков

$\displaystyle \left \{ {{x=y^2} \atop {y=x}} \right.$

Решив систему получим точки пересечения графиков О(0; 0), A(1;1)

Тогда пределы интегрирования для нас будут a = 0; b = 1.

Искомый объем представляет собой разность объема V₁ параболоида, образованного вращением кривой х=у², и о объема V₂ конуса, образованного вращением прямой y = x.

$\displaystyle V=\pi \int\limits^1_0 {(x-x^2)} \, dx= \pi \bigg(\frac{x^2}{2} \bigg |_0^1-\frac{x^3}{3} \bigg |_0^1\bigg )=\frac{1}{2} \pi -\frac{1}{3} \pi =\frac{1}{6} \pi$

Answer 2

Для знаходження об'єму тіла, отриманого обертанням області обмеженої кривими x = y^2 та y = x навколо осі ox, ми можемо скористатися методом обертання.

Спершу знайдемо точки перетину цих двох кривих. Поставимо рівняння x = y^2 рівним рівнянню y = x та розв'яжемо його:

y^2 = x y = x

Підставимо x з другого рівняння в перше:

y^2 = y

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння:

y^2 - y = 0

y(y - 1) = 0

Отримуємо два значення y: y = 0 і y = 1. Це дозволяє нам знайти точки перетину кривих:

1. Перша точка: (0, 0)
2. Друга точка: (1, 1)

Тепер ми можемо знайти об'єм обернутого тіла за допомогою інтеграла обертання від 0 до 1:

V = π∫[a, b] (f(x))^2 dx,

де a і b - це x-координати точок перетину (0 і 1), а f(x) - відстань від точки (x, y) до осі ox (тобто x):

V = π∫[0, 1] x^2 dx

Тепер обчислимо цей інтеграл:

V = π * [x^3/3] |[0, 1]

V = π * [(1^3/3) - (0^3/3)]

V = π * (1/3)

Отже, об'єм тіла, отриманого обертанням вказаних ліній навколо осі ox, дорівнює (π/3) кубічних одиниць.