Question

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ кривої у=е^х від х=0 до х=1.

Answer 1

$y= e^{x} . x=0, a=0 x=1, b=1 V= \pi * \int\limits^0_1 {( e^{x} ) ^{2} } \, dx = \pi *\int\limits^0_1 { e^{2x} } \, dx = \pi * \frac{1}{2} e^{2x} | _{0} ^{1} = \frac{ \pi }{2} *( e^{2*1} - e^{2*0} )=$
$= \frac{ \pi }{2} *( e^{2} -1)$ед.куб

Answer 2

Для обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням кривої навколо осі OX, необхідно застосувати формулу об'єму обертового тіла. Згідно з цією формулою, об'єм тіла можна обчислити як інтеграл площі поперечного перерізу тіла від початкового значення x до кінцевого значення x.

У даному випадку, крива задана у вигляді функції y = e^x, від x = 0 до x = 1. Щоб обчислити площу поперечного перерізу тіла, необхідно використовувати площу під кривою.

Обчислення площі під кривою

Для обчислення площі під кривою, можемо використати визначений інтеграл. Він відповідає за обчислення площі під кривою на заданому інтервалі.

Формула для обчислення площі під кривою на відрізку [a, b] виглядає наступним чином: S = ∫[a, b] f(x) dx

У даному випадку, ми маємо криву у = e^x та інтервал [0, 1]. Тому, ми можемо обчислити площу під кривою за допомогою наступного інтегралу: S = ∫[0, 1] e^x dx

Обчислення об'єму

Отже, ми отримали площу під кривою. Тепер, щоб обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням кривої навколо осі OX, ми повинні додати нашу площу під кривою як інтеграл від x = 0 до x = 1 у формулу об'єму обертового тіла:

V = ∫[0, 1] π * (f(x))^2 dx

В нашому випадку, f(x) = e^x, тому ми можемо записати формулу об'єму як:

V = ∫[0, 1] π * (e^x)^2 dx

Далі, ми можемо обчислити цей інтеграл, щоб отримати значення об'єму.