Question

Помогите решить пожалуйста!!! 1. Докажите, что четырёхугольник MNKO с вершинами M(2; 1; 3), N(1; 0; 7), K(-2; 1; 5),0(-1; 2; 1) есть параллелограмм.

Answer 1

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Даны координаты вершин: M(2; 1; 3), N(1; 0; 7), K(-2; 1; 5),0(-1; 2; 1)

Находим стороны четырёхугольника

Вектор MN                                   Вектор NK

X      Y     Z                                        X      Y       Z

-1 -1 4                                   -3      1      -2

Модуль √18 = 4,24264               Модуль √14 = 3,74166

Вектор KO                                Вектор MO

X     Y       Z                                  X     Y      Z

1       1      -4                                  -3     1      -2

Модуль √18 = 4,24264                Модуль √14 = 3,74166

Как видим, условие соблюдено - четырёхугольник MNKO есть параллелограмм.

Проверяем длины диагоналей.

Диагонали  

Вектор MK                            Вектор NO

X      Y Z                           X      Y      Z

-4 0 2                           -2     2     -6

Модуль √20 =  4,47214     Модуль √44 = 6,63325

Диагонали имеют разную длину – значит, MNKO не прямоугольник.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKO является параллелограммом, нужно показать, что противоположные стороны этого четырёхугольника параллельны и имеют равные длины.

1. Вычисление векторов сторон: Вычислим векторы сторон четырёхугольника:

   • Вектор стороны MN: $\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = (1-2, 0-1, 7-3) = (-1, -1, 4)$
   • Вектор стороны OK: $\vec{OK} = \vec{K} - \vec{O} = (-2 - (-1), 1 - 2, 5 - 1) = (-1, -1, 4)$ Оба вектора имеют одинаковые координаты, следовательно, они равны и параллельны.

2. Вычисление векторов диагоналей: Вычислим векторы диагоналей четырёхугольника:

   • Вектор диагонали MK: $\vec{MK} = \vec{K} - \vec{M} = (-2 - 2, 1 - 1, 5 - 3) = (-4, 0, 2)$
   • Вектор диагонали NO: $\vec{NO} = \vec{O} - \vec{N} = (-1 - 1, 2 - 0, 1 - 7) = (-2, 2, -6)$

3. Проверка параллельности: Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKO является параллелограммом, необходимо убедиться, что векторы диагоналей MK и NO равны или противоположны по направлению. Для этого проверим, являются ли они коллинеарными (имеют одинаковое или противоположное направление).

   Проверим коллинеарность векторов MK и NO, проверив равенство отношения их координат:

   $$\frac{{-4}}{{-2}} = \frac{{0}}{{2}} = \frac{{2}}{{-6}}$$

   Отсюда видно, что отношение координат векторов одинаково, следовательно, векторы коллинеарны и имеют одинаковое направление.

Таким образом, мы показали, что противоположные стороны четырёхугольника MNKO (стороны MN и OK) параллельны и имеют равные длины, а векторы диагоналей (MK и NO) имеют одинаковое направление. Следовательно, четырёхугольник MNKO является параллелограммом.