Question

Найти производную y=(4x^2+4x^3)^12

Answer 1

Ответ:

$12 (4x^2 + 4x^3 )^{11} \cdot (12x^2 +8 x)$

Пошаговое объяснение:

Производная сложной функции

$(f(g(x))) ' = f'(g(x))g'(x)$

Тогда

$y = (4x^2 + 4x^3 )^{12} \\\\ y ' =( (4x^2 +4 x^3)^{12})' = 12(4x^2 + 4x^3 )^{11}\cdot (8x + 12x^2 )=\\\\ 12 (4x^2 + 4x^3 )^{11} \cdot (12x^2 +8 x)$

Answer 2

Чтобы найти производную функции y = (4x^2 + 4x^3)^12, воспользуемся правилом цепочки (chain rule) и степенным правилом.

Сначала выразим функцию в виде (u^v), где u = 4x^2 + 4x^3 и v = 12:

y = u^v

Теперь найдем производные u и v:

1. Найдем производную u по x, используя правило суммы:

   du/dx = d/dx (4x^2 + 4x^3)

   du/dx = 8x + 12x^2

2. Найдем производную v по x, которая равна просто константе:

   dv/dx = d/dx (12) = 0

Теперь мы готовы применить правило цепочки для нахождения производной y по x:

dy/dx = dy/du * du/dx

Где dy/du - производная y по u, а du/dx - производная u по x.

1. Найдем производную y по u, используя степенное правило:

   dy/du = d/du (u^v)

   dy/du = vu^(v-1)

2. Теперь у нас есть все необходимые компоненты для вычисления производной y по x:

   dy/dx = dy/du * du/dx

   dy/dx = (vu^(v-1)) * (8x + 12x^2)

Подставим значения v и u обратно:

dy/dx = (12u^11) * (8x + 12x^2)

dy/dx = 12(4x^2 + 4x^3)^11 * (8x + 12x^2)

Это и есть производная функции y = (4x^2 + 4x^3)^12 по x.