Question

РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА дифференциальное уравнение Найдите частное решение уравнения, удовлетворяющее данным условиям у" - 5у' + 4у = 0; у(0) = 5, у (0) = 8

Answer 1

Ответ:

у=4еˣ+у⁴ˣ.

Пошаговое объяснение:

рассмотрите предложенный вариант. Решение выполнено при условии y(0)=5; y'(0)=8.

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями, сначала найдем его общее решение и затем используем начальные условия для определения частного решения.

Данное дифференциальное уравнение имеет вид:

у" - 5у' + 4у = 0

Чтобы найти общее решение, предположим, что решение имеет вид у = e^(rt), где r - неизвестная константа. Подставим это предположение в уравнение:

r^2e^(rt) - 5re^(rt) + 4e^(rt) = 0

Теперь можно разделить уравнение на e^(rt):

r^2 - 5r + 4 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью квадратного уравнения:

(r - 1)(r - 4) = 0

Имеем два корня:

r1 = 1 r2 = 4

Теперь мы можем записать общее решение уравнения:

у(t) = C1e^(rt1) + C2e^(rt2)

где C1 и C2 - произвольные константы.

Теперь, используя начальные условия у(0) = 5 и у'(0) = 8, найдем значения констант C1 и C2.

1. Учитывая у(0) = 5:

5 = C1e^(0) + C2e^(0) 5 = C1 + C2

2. Учитывая у'(0) = 8:

8 = C1re^(0) + C2re^(0) 8 = C1r + C2r

Теперь решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения: C1 = 5 - C2 Подставим это во второе уравнение:

8 = (5 - C2)r + C2r

Теперь решим это уравнение относительно C2:

8 = 5r - C2r + C2r

C2r и -C2r взаимно уничтожаются, оставляя:

8 = 5r

Теперь найдем r:

r = 8 / 5 = 1.6

Теперь, зная r, можно найти C2:

C2 = 5 - C1 C2 = 5 - (5 - C2) C2 = 5 - 5 + C2 C2 = C2

Таким образом, C2 может быть любым числом.

Теперь, имея значения C1 и C2, можно записать частное решение:

у(t) = C1e^(rt1) + C2e^(rt2)

у(t) = (5 - C2)e^(1.6t) + C2e^(4t)

Это частное решение вашего дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.