Question

Вища математика,допоможіть!! Дані координати вершин піраміди А1(-1;3;0), А2(2;0;0), А3(5;-2;1), А4(3;2;7). Треба знайти: а )кут між ребрами А1А2 та А1А4; б) рівняння прямої А1А2; в) рівняння та площу грані А1А2А3; д) об’єм піраміди А1А2А3А4. 20 балів:)

Answer 1

Решение дано во вложении.

К пункту д) ответ дан в двух вариантах для выбора.

Answer 2

Давайте розв'яжемо цю задачу крок за кроком.

а) Кут між ребрами А1А2 та А1А4 можна знайти використовуючи скалярний добуток векторів. Спершу знайдемо вектори, які представляють ці ребра:

Вектор А1А2 = (2 - (-1), 0 - 3, 0 - 0) = (3, -3, 0) Вектор А1А4 = (3 - (-1), 2 - 3, 7 - 0) = (4, -1, 7)

Тепер знайдемо скалярний добуток цих векторів:

А1А2 * А1А4 = (3 * 4) + (-3 * -1) + (0 * 7) = 12 + 3 + 0 = 15

Тепер знайдемо довжини цих векторів:

|А1А2| = √(3^2 + (-3)^2 + 0^2) = √(9 + 9 + 0) = √18 |А1А4| = √(4^2 + (-1)^2 + 7^2) = √(16 + 1 + 49) = √66

Тепер використаємо формулу для знаходження кута між векторами через скалярний добуток:

cos(θ) = (А1А2 * А1А4) / (|А1А2| * |А1А4|) cos(θ) = 15 / (√18 * √66)

Тепер знайдемо кут θ:

θ = arccos(15 / (√18 * √66))

Застосовуючи обернену функцію косинуса (arccos), отримаємо значення кута θ.

б) Рівняння прямої А1А2 можна знайти, використовуючи параметричну форму рівняння прямої:

x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct

де (x1, y1, z1) - координати початку вектора А1А2, (a, b, c) - параметри, t - параметр.

(x1, y1, z1) = (-1, 3, 0) (a, b, c) = (3, -3, 0)

Тепер можемо записати рівняння прямої:

x = -1 + 3t y = 3 - 3t z = 0

в) Рівняння площі грані А1А2А3 можна знайти, використовуючи векторний добуток векторів, які представляють ребра грані. Вектори А1А2 і А1А3 ми вже знайшли у пункті (а). Тепер знайдемо вектор, який представляє ребро А1А3:

Вектор А1А3 = (5 - (-1), -2 - 3, 1 - 0) = (6, -5, 1)

Тепер знайдемо векторний добуток векторів А1А2 і А1А3:

N = А1А2 x А1А3

N = |i j k| |3 -3 0| |6 -5 1|

N = i(3 * 1 - 0 * (-5)) - j(3 * 6 - 0 * 1) + k(3 * (-5) - (-3) * 6)

N = i(3) - j(18) - k(-15 - (-18))

N = 3i + 18j + 3k

Отже, рівняння площі грані А1А2А3 можна записати в такому вигляді:

3x + 18y + 3z = D

де D - деяка константа, яку можна знайти, використовуючи координати точки А1 (якщо вам потрібна конкретна константа, подайте значення точки А1).

д) Об'єм піраміди можна знайти за допомогою формули об'єму піраміди:

V = (1/3) * S * h

де S - площа грані, а h - висота піраміди від цієї грані. Площу грані ми знайшли у пункті (в), і тепер нам потрібно знайти висоту піраміди.

Для знаходження висоти можемо використовувати відстань між точкою А4 і площею грані А1А2А3. Відстань між точкою і площею можна знайти як відстань від точки до площі вздовж нормалі до площі. Нормаль до площі ми вже знайшли (вектор N = 3i + 18j + 3k).

Відстань між точкою А4 і площею грані можна знайти за допомогою формули:

h = |(P - A1) * N| / |N|

де P - координати точки А4, A1 - координати точки А1, N - нормаль до площі грані.

P = (3, 2, 7) (координати точки А4) A1 = (-1, 3, 0) (координати точки А1)

Тепер підставимо значення в формулу:

h = |(3 - (-1), 2 - 3, 7 - 0) * (3i + 18j + 3k)| / |3i + 18j + 3k|

h = |(4, -1, 7) * (3i + 18j + 3k)| / |3i + 18j + 3k|

h = |(4 * 3 + (-1) * 18 + 7 * 3)| / |3 * 3 + 18 * (-1) + 3 * 7|

h = |(12 - 18 + 21)| / |9 - 18 + 21|

h = |15| / |12|

h = 15 / 12 = 5/4

Тепер, коли у нас є значення площі грані (з пункту в) і висоти (5/4), можемо знайти об'єм:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * (D) * (5/4)

Де D - константа з рівняння площі грані. Підставимо значення D, якщо ви його знаєте, і знайдемо об'єм піраміди.