Question

Найдите первообразную y=(1/x+1)-(1/x-1) с формулой​

Answer 1

Ответ:

F(x)=ln|x+1|+C, C-co

. |x-1|

Пошаговое объяснение:

y=1/x+1- 1/x-1

F(x)=ydx=(1. -.1) dx=d/x=ln|x+1|+C=ln|x+1|+C

. ( x+1 x-1). |x-1|

Answer 2

Для нахождения первообразной функции y = (1/(x + 1)) - (1/(x - 1)), мы можем использовать метод интегрирования. Давайте разберемся с этим:

∫[ (1/(x + 1)) - (1/(x - 1)) ] dx

Для начала, вынесем общий знаменатель:

∫[ (x - 1 - (x + 1)) / ((x + 1)(x - 1)) ] dx

Теперь распределите числитель:

∫[ (x - 1)/(x^2 - 1) - (x + 1)/(x^2 - 1) ] dx

Теперь разделим на два интеграла:

∫[ (x - 1)/(x^2 - 1) ] dx - ∫[ (x + 1)/(x^2 - 1) ] dx

Теперь выполним интегрирование каждого из этих интегралов:

1. ∫[ (x - 1)/(x^2 - 1) ] dx:

Для этого интеграла можно воспользоваться частичной дробью:

(x - 1)/(x^2 - 1) = A/(x - 1) + B/(x + 1)

Умножим обе стороны на (x - 1)(x + 1), чтобы избавиться от дроби:

x - 1 = A(x + 1) + B(x - 1)

Теперь можно найти A и B. Для этого можно подставить разные значения x, чтобы упростить уравнение. Например, если подставить x = 1, то получим:

0 = 2A

Отсюда A = 0. Теперь подставим x = -1:

-2 = -2B

Отсюда B = 1.

Теперь разложим интеграл:

∫[ (x - 1)/(x^2 - 1) ] dx = ∫[ 0/(x - 1) + 1/(x + 1) ] dx = ∫[ 1/(x + 1) ] dx

Интегрируем:

ln|x + 1| + C1, где C1 - произвольная постоянная.

2. Теперь вычислим второй интеграл:

∫[ (x + 1)/(x^2 - 1) ] dx

Для этого интеграла также воспользуемся частичной дробью:

(x + 1)/(x^2 - 1) = C/(x - 1) + D/(x + 1)

Умножим обе стороны на (x - 1)(x + 1), чтобы избавиться от дроби:

x + 1 = C(x + 1) + D(x - 1)

Теперь можно найти C и D. Если подставить x = 1, то получим:

2 = 2C

Отсюда C = 1. Если подставить x = -1, то получим:

0 = -2D

Отсюда D = 0.

Теперь разложим интеграл:

∫[ (x + 1)/(x^2 - 1) ] dx = ∫[ 1/(x - 1) + 0 ] dx = ∫[ 1/(x - 1) ] dx

Интегрируем:

ln|x - 1| + C2, где C2 - произвольная постоянная.

Теперь суммируем оба интеграла:

ln|x + 1| + C1 - ln|x - 1| + C2

Сгруппируем постоянные:

ln|x + 1| - ln|x - 1| + (C1 - C2)

Теперь объединим логарифмы:

ln(|x + 1| / |x - 1|) + (C1 - C2)

Итак, первообразная функции y = (1/(x + 1)) - (1/(x - 1)) равна:

ln(|x + 1| / |x - 1|) + C, где C = C1 - C2 - произвольная постоянная.