Question

Найти общее решение дифференциального уравнеия y''+4y'+4y=0 y(0)=0, y'(0)=2

Answer 1

$y''+4y'+4y=0;\ y(0)=0;\ y'(0)=2$

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\lambda^2+4\lambda+4=0$

$(\lambda+2)^2=0$

$\lambda_1=\lambda_2=-2$

Записываем общее решение уравнения:

$y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}$

Находим производную этого решения:

$y'=C_1\cdot(-2e^{-2x})+C_2e^{-2x}+C_2x\cdot(-2e^{-2x})$

$y'=(-2C_1+C_2)e^{-2x}-2C_2xe^{-2x}$

Подставим начальные условия и получим систему:

$\begin{cases} 0=C_1e^{-2\cdot0}+C_2\cdot0\cdot e^{-2\cdot0} \\ 2=(-2C_1+C_2)e^{-2\cdot0}-2C_2\cdot0\cdot e^{-2\cdot0} \end{cases}$

Учитывая, что $e^0=1$, после упрощения получим:

$\begin{cases} C_1=0 \\ -2C_1+C_2 =2\end{cases}$

Тогда:

$-2\cdot0+C_2 =2$

$C_2 =2$

Записываем частное решение:

$y=0\cdot e^{-2x}+2xe^{-2x}$

$y=2xe^{-2x}$

Ответ: общее решение $y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}$;

частное решение $y=2xe^{-2x}$

Answer 2

Для нахождения общего решения данного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, y'' + 4y' + 4y = 0, мы сначала найдем характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение связано с характеристическими корнями этого уравнения.

Характеристическое уравнение: r^2 + 4r + 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение: (r + 2)^2 = 0

Отсюда получаем двойной корень -2.

Таким образом, характеристическое уравнение имеет один корень -2 кратности 2.

Общее решение для линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с кратными корнями имеет следующий вид:

y(t) = (C1 + C2t)e^(-2t),

где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые могут быть найдены из начальных условий.

Учитывая начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 2, мы можем найти значения C1 и C2:

y(0) = (C1 + C2 * 0)e^(0) = C1 = 0 y'(0) = (C1 + C2 * 0)e^(0) - 2 * (C1 + C2 * 0)e^(0) = -2C1 = 2

Из последнего уравнения мы получаем C1 = -1.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения с учетом начальных условий:

y(t) = (-1 + C2t)e^(-2t)

где C2 - произвольная постоянная.