Question

СРОЧНО! 35 БАЛЛОВ знайти похідну функції за формою похідної добутку та її значення у точці х0= 1; у=(х³-1)•(х⁷+х²)а) 6б) 16в) 4г) 8​

Answer 1

Ответ:  a) .

$y=(x^3-1)\cdot (x^7+x^2)$  

Производная произведения равна  $(u\, v)'=u'v+uv'$  .

$y'=3x^2\cdot (x^7+x^2)+(x^3-1)\cdot (7x^6+2x)=\\\\=3x^9+3x^4+7x^9+2x^4-7x^6-2x=10x^9-7x^6+5x^4-2x$

Вычислим значение производной при  х=1.

$y'(0)=10\cdot 1-7\cdot 1+5\cdot 1-2\cdot 1=6$

Answer 2

Давайте знайдемо похідну функції у = (x³ - 1) * (x⁷ + x²) за допомогою формули для похідної добутку. Формула для похідної добутку виглядає так:

d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx,

де u = (x³ - 1) і v = (x⁷ + x²).

Давайте знайдемо похідні для кожного з цих членів:

1. du/dx: du/dx = d/dx (x³ - 1) = 3x².

2. dv/dx: dv/dx = d/dx (x⁷ + x²) = 7x⁶ + 2x.

Тепер використовуємо формулу для похідної добутку:

d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx d((x³ - 1) * (x⁷ + x²))/dx = (x³ - 1) * (7x⁶ + 2x) + (x⁷ + x²) * 3x² d((x³ - 1) * (x⁷ + x²))/dx = (x³ - 1) * 7x⁶ + (x³ - 1) * 2x + (x⁷ + x²) * 3x²

Тепер обчислимо значення похідної у точці x₀ = 1:

d((x³ - 1) * (x⁷ + x²))/dx | (x=1) = (1³ - 1) * 7 * 1⁶ + (1³ - 1) * 2 * 1 + (1⁷ + 1²) * 3 * 1² d((x³ - 1) * (x⁷ + x²))/dx | (x=1) = (1 - 1) * 7 * 1⁶ + (1 - 1) * 2 * 1 + (1⁷ + 1²) * 3 * 1² d((x³ - 1) * (x⁷ + x²))/dx | (x=1) = 0 * 7 * 1⁶ + 0 * 2 * 1 + (1 + 1) * 3 * 1² d((x³ - 1) * (x⁷ + x²))/dx | (x=1) = (2) * (3) = 6.

Отже, значення похідної функції у точці x₀ = 1 дорівнює 6.

Відповідь: а) 6.