Question

На доске написали пять натуральных чисел, причем необязательно различных. Если вычислить все возможные попарные суммы этих чисел, получится всего три различных значения: 41,64 и 35. Какое из написанных на доске чисел наименьшее?

Answer 1

Назовем наименьшее число на доске «х». Тогда мы знаем, что остальные четыре числа можно выразить как х + 41, х + 64, х + 41 + 64 и 2х + 105.

Поскольку у нас есть только три различных попарных суммы, x + 41, x + 64 и 2x + 105 должны быть равны друг другу. Это означает, что мы имеем следующую систему из трех уравнений:

х + 41 = х + 64

х + 41 = 2х + 105

х + 64 = 2х + 105

Решая эту систему уравнений, мы можем найти, что x = 20.

Следовательно, наименьшее число, написанное на доске, равно 20.

Answer 2

Давайте представим, что на доске написаны пять натуральных чисел: A, B, C, D и E. Из условия известно, что все попарные суммы этих чисел дают всего три различных значения: 41, 64 и 35.

Мы можем записать следующие уравнения, представляя все возможные комбинации:

1. A + B = 41
2. A + C = 64
3. A + D = 35
4. B + C = 64
5. B + D = 35
6. C + D = 64

Теперь давайте найдем наименьшее из написанных чисел, сравнивая их по отдельности:

Из уравнения 1 (A + B = 41) следует, что A = 41 - B. Из уравнения 3 (A + D = 35) следует, что A = 35 - D.

Сравнивая оба уравнения, получим:

41 - B = 35 - D

Теперь выразим B через D:

B = 35 - D + 41 B = 76 - D

Таким образом, B больше D на 76. Наименьшее натуральное число будет наименьшим из B и D. Поскольку B больше D, то наименьшее число - это D.

Итак, наименьшее из написанных на доске чисел - это D.