Question

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол Aравен 75°. Найдите AC, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 10

Answer 1

Ответ:

АС = 10 ед.

Пошаговое объяснение:

В равнобедренном треугольнике АВ с основанием АС угол А равен 75°. Найдите основание АС, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 10 .

Пусть дан ΔАВС - равнобедренный, АВ =ВС , АС - основание .

∠А =75 °.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Тогда ∠С =∠А =75 °.

Сумма углов треугольника равна 180 °. Тогда найдем третий угол треугольника

∠В =180° - ( ∠А +∠С) ;

∠В =180° - ( 75° +75°) = 180° - 150° = 30° .

Радиус окружности, описанной около треугольника определяется по формуле:

$R =\dfrac{a}{2sin \alpha } ,$

где а =сторона треугольника, α - противолежащий угол.

Если радиус описанной окружности равен 10 ед., то найдем АС .

$R =\dfrac{AC}{2sinB } ;\\\\AC =2R \cdot sinB ;\\\\AC = 2\cdot 10\cdot sin 30^{0} =20\cdot \dfrac{1}{2} =10$

Тогда АС = 10 ед.

#SPJ1

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами равнобедренных треугольников и треугольников, описанных около окружности.

1. Радиус описанной около треугольника окружности (R) связан с основанием треугольника (AC) и углом при вершине (A) следующим образом:

   R = AC / (2 * sin(A))

   Здесь A измеряется в радианах. Для угла 75°:

   R = AC / (2 * sin(75°))

2. Мы знаем, что синус 75° можно представить как сумму синусов двух углов:

   sin(75°) = sin(45° + 30°)

3. Мы знаем, что sin(A + B) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B). Применим это для 45° и 30°:

   sin(45° + 30°) = sin(45°) * cos(30°) + cos(45°) * sin(30°)

4. Мы также знаем, что sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 и sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2. Подставляем эти значения:

   sin(75°) = (1/√2) * (√3/2) + (1/√2) * (1/2)

   sin(75°) = (√3/2√2) + (1/2√2)

   sin(75°) = (√3 + 1) / (2√2)

5. Теперь мы можем вернуться к уравнению для R:

   R = AC / (2 * sin(75°))

   R = AC / [2 * (√3 + 1) / (2√2)]

   R = AC * (√2 / (√3 + 1))

6. Теперь мы знаем, что радиус описанной около треугольника окружности равен 10:

   10 = AC * (√2 / (√3 + 1))

7. Теперь давайте избавимся от дроби, умножив обе стороны на (√3 + 1):

   10 * (√3 + 1) = AC * √2

   Умножим √2 на обе стороны:

   10 * (√3 + 1) * √2 = AC * 2

   20 * (√3 + 1) = AC * 2

   20√3 + 20 = AC * 2

8. Теперь разделим обе стороны на 2, чтобы найти AC:

   AC = (20√3 + 20) / 2

   AC = 10√3 + 10

Итак, длина основания треугольника AC равна 10√3 + 10.