Question

на висоті СН трикутника АВС позначили точку К Доведіть що коли кут АКН=ВКН, то трикутник АВС рівнобедренний

Answer 1

Умова:

Дано:

ΔABC

CH ⊥ AB

∠АКН = ∠ВКН

Довести:

ΔАВС - рівноб.?

рисунок у вкладеному файлі.

Розв'язання:

1. Розглянемо ΔАKН і ΔBKH:

1. ∠АКН = ∠ВКН за умовою;
2. ∠АHK = ∠ВHK за умовою;
3. HK - спільна сторона.

⇒ ΔАKН = ΔBKH за II ознакою рівности трикутників.

2. Оскільки ΔАKН = ΔBKH, то AH = BH як відповідні елементи рівних трикутників. Тоді виходить, що CH - не тільки висота, а й медіана. З цього слідує, що ΔАВС - рівнобедрений за ознакою.

Доведено.  

Answer 2

Для доведення, що трикутник АВС рівнобедренний, давайте розглянемо, як можна використовувати інформацію про кути АКН і ВКН.

Ми маємо трикутник АВС та точку К на висоті СН. Для початку ми розглянемо кут АКН і кут ВКН:

1. Кут АКН = Кут ВКН (за умовою).

Тепер розглянемо властивості трикутників, які можна застосувати:

2. Кути АКН і ВКН - це внутрішні кути трикутника АВС.

3. Внутрішні кути на одній і тій же стороні відповідних рівних сторін трикутника дорівнюють один одному.

Отже, ми маємо:

Кут АКН = Кут ВКН (за умовою) Кут АКН = Кут ВКН (за властивістю 2) Кут КАН = Кут КВН (за властивістю 3)

Це означає, що ми маємо два кути в трикутнику АКН, які дорівнюють один одному. Отже, відповідні сторони цих кутів також повинні бути рівними. Тобто, сторона АК = сторона ВК.

Але трикутник АКН - це прямокутний трикутник (оскільки К лежить на висоті СН). Тому, ми маємо:

СН - це висота, і вона перпендикулярна до сторінки АВС.

Отже, ми маємо два прямокутних трикутники, трикутник АКН і трикутник ВКН, в яких відомо, що одна із сторін цих трикутників рівна (сторони АК і ВК рівні за результатом доведення). Таким чином, відомо, що вони мають рівні кути біля спільної сторони, тобто кути при вершинах А та В.

Отже, трикутник АВС є рівнобедренним, оскільки сторони АК і ВК рівні, а кути при вершинах А та В рівні.