Question

Знайдіть найбільше та найменше значення функції у(х) = 2х 3 − 6x 2 + 4 на відрізку [−1; 1]

Answer 1

Привіт! Мене звати Santoru, ось відповідь на твоє запитання.

Щоб знайти найбільше та найменше значення функції у(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4 на відрізку [-1, 1], необхідно знайти критичні точки функції та порівняти їх зі значеннями на кінцях відрізку.

Знайдемо похідну функції:

у'(х) = 6x^2 - 12x

Знайдемо критичні точки, які задовольняють рівнянню у'(х) = 0:

6x^2 - 12x = 0

6x(x - 2) = 0

x1 = 0, x2 = 2/6 = 1/3

Таким чином, ми знайшли дві критичні точки на відрізку [-1, 1]: x1 = 0 та x2 = 1/3.

Знайдемо значення функції у(x) у кожній з критичних точок та на кінцях відрізку:

у(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1)^2 + 4 = 2

у(0) = 2(0)^3 - 6(0)^2 + 4 = 4

у(1/3) = 2(1/3)^3 - 6(1/3)^2 + 4 = 64/27

у(1) = 2(1)^3 - 6(1)^2 + 4 = 0

Порівняємо значення функції у(x) у кожній з критичних точок та на кінцях відрізку:

Мінімальне значення функції у(x) на відрізку [-1, 1] дорівнює -2, і досягається у точці x = 1.

Максимальне значення функції у(x) на відрізку [-1, 1] дорівнює 4, і досягається у точці x = 0.

Отже, найменше значення функції -2, а найбільше значення 4 на відрізку [-1, 1].

Answer 2

Для знаходження найбільшого та найменшого значення функції $y(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4$ на відрізку $[-1, 1]$, спершу знайдемо значення функції на кінцях цього відрізку, а потім знайдемо її критичні точки.

1. Знайдемо значення на кінцях відрізку:

   • При $x = -1$: $y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1)^2 + 4 = -2 - 6 + 4 = -4$.
   • При $x = 1$: $y(1) = 2(1)^3 - 6(1)^2 + 4 = 2 - 6 + 4 = 0$.

2. Тепер знайдемо критичні точки, де похідна $y'(x)$ дорівнює нулю або не існує: $y'(x) = 6x^2 - 12x$. Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння $6x^2 - 12x = 0$: $6x(x - 2) = 0$. Отримуємо дві критичні точки: $x_1 = 0$ та $x_2 = 2$.

3. Знайдемо значення функції в цих критичних точках:

   • При $x = 0$: $y(0) = 2(0)^3 - 6(0)^2 + 4 = 4$.
   • При $x = 2$ (але ця точка не входить в відрізок $[-1, 1]$).

Таким чином, найбільше та найменше значення функції на відрізку $[-1, 1]$ такі:

• Найбільше значення: $0$ (досягається при $x = 1$).
• Найменше значення: $-4$ (досягається при $x = -1$).