Question

1. Перечислить признаки параллелограмма. 2. Доказать теорему Пифагора.

Answer 1

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.

Противоположные углы параллелограмма равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.

2.

Сейчас мы докажем Теорему Пифагора:

Утверждение: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон (катетов).

То есть, если $a$ и $b$ - катеты, а $c$ - гипотенуза, то $a^{2}+b^{2} = c^{2}$

Доказательство: Мы можем доказать теорему алгебраически, показав, что площадь большого квадрата равна площади внутреннего квадрата (квадрата гипотенузы) плюс площадь четырёх треугольников:

$(a+b)^{2} = c^{2} + 4 * (\frac{1}{2} * ab)$
$a^{2} + 2 * ab + b^{2} = c^{2} + 2 * ab$
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Answer 2

1. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого две пары противоположных сторон параллельны. Вот признаки параллелограмма:

   a. Две пары противоположных сторон параллельны. b. Противоположные углы равны (то есть угол A равен углу C, а угол B равен углу D). c. Соседние углы дополняют друг друга до 180 градусов (то есть угол A + угол B = 180 градусов, угол B + угол C = 180 градусов и так далее). d. Противоположные стороны равны по длине (AB = CD и BC = AD).

2. Доказательство теоремы Пифагора:

   Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (стороны, противоположной прямому углу) равен сумме квадратов длин двух катетов (двух боковых сторон, прилегающих к прямому углу).

   Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, а AC и BC - катеты. Мы хотим доказать, что:

   AB^2 = AC^2 + BC^2

   Для этого проведем следующее доказательство:

   a. Рассмотрим квадрат, построенный на стороне AB. Площадь этого квадрата равна AB^2.

   b. Построим квадраты на сторонах AC и BC. Площади этих квадратов равны AC^2 и BC^2 соответственно.

   c. Теперь объединим квадраты AC^2 и BC^2 так, чтобы они смежны и образуют квадрат на стороне AB.

   d. Полученный квадрат на стороне AB имеет площадь AC^2 + BC^2, так как это сумма площадей квадратов AC^2 и BC^2.

   e. Поскольку площадь квадрата на стороне AB равна площади квадрата AC^2 + BC^2, мы можем записать:

   AB^2 = AC^2 + BC^2

   Это завершает доказательство теоремы Пифагора.