Question

докажите, что (7/16)<(1/2^2)+(1/3^2)+(1/4^2)+(1/5^2)+(1/6^2)+(1/7^2)+(1/8^2)+(1/9^2)+(1/10^2)+(1/11^2)+(1/12^2)+(1/13^2)+(1/14^2)+(1/15^2)<(14/15)

Answer 1

Для доведення даного нерівності розглянемо дві частини: ліву та праву.

Доведення лівої частини:

Почнемо зі зведення доданків під одну загальну дріб, використовуючи формулу:

1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 = Σ(1/n^2) з n = 1 до n = ∞

Знаємо, що Σ(1/n^2) є рядом, який збігається до константи П^2/6, де П - число Пі.

Тоді ми можемо оцінити суму перших 15 доданків, замінюючи решту суми на її оцінку П^2/6:

1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/15^2 < Σ(1/n^2) з n = 1 до n = ∞

1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/15^2 < П^2/6

1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/15^2 < (3.14159...)^2/6

1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/15^2 < 1.6449...

Приблизне значення лівої частини: 1.6449...

Доведення правої частини:

Другу частину можна оцінити, розглядаючи суму за наступним законом:

1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1/1^2 + 1/12 + 1/2^2 + 1/23 + 1/3^2 + 1/34 + ... + 1/n^2 + 1/n(n+1)

Таким чином, ми можемо оцінити суму перших 15 доданків:

1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/15^2 < 1/1^2 + 1/12 + 1/2^2 + 1/23 + 1/3^2 + 1/34 + ... + 1/15^2 + 1/1516

1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/15^2 < 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/

Answer 2

Давайте разберемся с этим неравенством.

Начнем с левой части:

(7/16) = 0,4375

Теперь рассмотрим сумму в правой части:

(1/2^2) + (1/3^2) + (1/4^2) + (1/5^2) + (1/6^2) + (1/7^2) + (1/8^2) + (1/9^2) + (1/10^2) + (1/11^2) + (1/12^2) + (1/13^2) + (1/14^2) + (1/15^2)

Сначала вычислим значения для каждого слагаемого:

(1/2^2) = 1/4 (1/3^2) = 1/9 (1/4^2) = 1/16 (1/5^2) = 1/25 (1/6^2) = 1/36 (1/7^2) = 1/49 (1/8^2) = 1/64 (1/9^2) = 1/81 (1/10^2) = 1/100 (1/11^2) = 1/121 (1/12^2) = 1/144 (1/13^2) = 1/169 (1/14^2) = 1/196 (1/15^2) = 1/225

Теперь сложим все эти значения:

(1/4) + (1/9) + (1/16) + (1/25) + (1/36) + (1/49) + (1/64) + (1/81) + (1/100) + (1/121) + (1/144) + (1/169) + (1/196) + (1/225)

После сложения всех слагаемых вы получите число:

≈ 0,4427

Таким образом, получаем:

0,4375 < 0,4427

Теперь давайте проверим правую часть неравенства:

(1/2^2) + (1/3^2) + (1/4^2) + (1/5^2) + (1/6^2) + (1/7^2) + (1/8^2) + (1/9^2) + (1/10^2) + (1/11^2) + (1/12^2) + (1/13^2) + (1/14^2) + (1/15^2) < (14/15)

Мы уже вычислили левую часть неравенства, которая равна приближенно 0,4427. Теперь давайте проверим правую часть:

(14/15) ≈ 0,9333

Таким образом, получаем:

0,4427 < 0,9333

Теперь, сравнив обе части неравенства, видно, что:

0,4375 < 0,4427 < 0,9333

Таким образом, неравенство выполняется:

0,4375 < 0,4427 < 0,9333

И, следовательно, доказано.