Question

Допоможіть вирішити завдання з теорії ймовірності 13 пасажирів навмання сідають у 4 пронумеровані підряд вагони. Яка ймовірність того, що: а) у перший вагон сядуть рівно 3 пасажири; б) у перший вагон сядуть не більше 3 пасажирів; в) в одному вагоні їхатимуть 4 пасажири?

Answer 1

Ответ:

Для решения этих задач о вероятности, нам понадобятся комбинаторика и принципы элементарной теории вероятностей. Давайте рассмотрим каждый пункт по отдельности:

а) У перший вагон сядуть рівно 3 пасажири:

Для этого мы должны выбрать 3 пассажиров из 13, которые сядут в первый вагон, и оставшиеся 10 пассажиров распределить по оставшимся вагонам. Таким образом, число благоприятных исходов будет равно C(13, 3) * C(10, 4) * C(6, 3) * C(3, 3) (где C(n, k) обозначает число сочетаний из n элементов по k элементов).

Всего возможных исходов будет C(13, 3) * C(10, 4) * C(6, 3) * C(3, 3) * 4! (так как порядок вагонов имеет значение).

Таким образом, вероятность будет равна P = (C(13, 3) * C(10, 4) * C(6, 3) * C(3, 3) * 4!) / (13!) = 26460 / 6227020800 ≈ 0.00000425.

б) У перший вагон сядуть не більше 3 пасажирів:

Для этого мы можем рассмотреть два случая: когда в первый вагон сядет 0, 1, 2 или 3 пассажира.

Число благоприятных исходов будет равно C(13, 0) * C(10, 4) * C(6, 4) * C(2, 4) + C(13, 1) * C(12, 3) * C(9, 4) * C(5, 3) + C(13, 2) * C(11, 2) * C(9, 4) * C(5, 2) + C(13, 3) * C(10, 1) * C(9, 4) * C(5, 1).

Всего возможных исходов будет равно 4! * C(13, 4) * C(9, 4) * C(5, 4) (так как порядок вагонов имеет значение).

Таким образом, вероятность будет равна P = (C(13, 0) * C(10, 4) * C(6, 4) * C(2, 4) + C(13, 1) * C(12, 3) * C(9, 4) * C(5, 3) + C(13, 2) * C(11, 2) * C(9, 4) * C(5, 2) + C(13, 3) * C(10,

Answer 2

Давайте розглянемо кожну частину завдання окремо.

а) У перший вагон сядуть рівно 3 пасажири.

Спершу ми можемо вирахувати, на скільки способів можна вибрати 3 пасажирів з 13. Це можна зробити за допомогою біноміального коефіцієнта:

C(13, 3) = 13! / (3!(13 - 3)!) = 286 способів вибору 3 пасажирів.

Тепер, коли ми вже вибрали 3 пасажирів для першого вагону, нам залишається 10 пасажирів, яких ми можемо розмістити в інших вагонах. Кожен пасажир може сісти в один з трьох вільних вагонів. Тобто для кожного з 10 пасажирів є 3 варіанти вибору вагону. Отже, кількість способів розміщення інших пасажирів становить 3^10.

Отже, загальна кількість способів розміщення пасажирів така:

286 * 3^10

Тепер давайте знайдемо загальну кількість можливих способів розміщення 13 пасажирів у 4 вагонах. Кожен пасажир може сісти в один з 4 вагонів, існують 4^13 способів.

Отже, ймовірність того, що у перший вагон сядуть рівно 3 пасажири, дорівнює:

(286 * 3^10) / 4^13

б) У перший вагон сядуть не більше 3 пасажирів.

Тут ми розглядаємо два випадки: 0, 1, 2 або 3 пасажири в першому вагоні.

1. 0 пасажирів в першому вагоні:

Способів вибору 0 пасажирів з 13: C(13, 0) = 1 Залишилося 13 пасажирів, яких можна розмістити в трьох вільних вагонах, кожен з яких може прийняти 13 пасажирів, отже, загальна кількість способів становить 3^13.

2. 1 пасажир в першому вагоні:

Способів вибору 1 пасажира з 13: C(13, 1) = 13 Залишилося 12 пасажирів, яких можна розмістити в трьох вільних вагонах, кожен з яких може прийняти 12 пасажирів, отже, загальна кількість способів становить 3^12.

3. 2 пасажири в першому вагоні:

Способів вибору 2 пасажирів з 13: C(13, 2) = 78 Залишилося 11 пасажирів, яких можна розмістити в трьох вільних вагонах, кожен з яких може прийняти 11 пасажирів, отже, загальна кількість способів становить 3^11.

4. 3 пасажири в першому вагоні:

Способів вибору 3 пасажирів з 13: C(13, 3) = 286 Залишилося 10 пасажирів, яких можна розмістити в трьох вільних вагонах, кожен з яких може прийняти 10 пасажирів, отже, загальна кількість способів становить 3^10.

Тепер знайдемо загальну кількість можливих способів розміщення 13 пасажирів у 4 вагонах, яка дорівнює 4^13.

Отже, ймовірність того, що у перший вагон сядуть не більше 3 пасажирів, дорівнює:

[(1 * 3^13) + (13 * 3^12) + (78 * 3^11) + (286 * 3^10)] / 4^13

в) В одному вагоні їхатимуть 4 пасажири.

Способів вибору 4 пасажирів з 13: C(13, 4) = 715 Залишилося 9 пасажирів, яких можна розмістити в трьох вільних вагонах, кожен з яких може прийняти 9 пасажирів, отже, загальна кількість способів становить 3^9.

Тепер знайдемо загальну кількість можливих способів розміщення 13 пасажирів у 4 вагонах, яка дорівнює 4^13.

Отже, ймовірність того, що в одному вагоні їхатимуть 4 пасажири, дорівнює:

(715 * 3^9) / 4^13

Таким чином, ви можете обчислити всі три ймовірності за допомогою вищезазначених формул.