Question

Викладач Правенко планує впродовж наступних 12 років читати курс криміналістики. Щоб не набриднути студентам своїми жартами, він вирішив розповідати кожного року тільки три анекдоти. Яку мінімальну кількість анекдотів потрібно приготувати викладачеві Правенку, щоб жоден анекдот із підготовленої ним добірки не повторювався два роки поспіль упродовж 12 років? PS із поясненням відповіді, дякую!

Answer 1

Ответ:

Щоб жоден анекдот не повторювався два роки поспіль, викладач може використовувати наступну стратегію: в перший рік він розповідає будь-які три анекдоти з підготовленої добірки. У наступні два роки він розповідає три нові анекдоти, які не зустрічалися в попередньому році. Таким чином, в кожний трьохрічний період викладач може використати 9 анекдотів (по три на рік), при цьому жоден анекдот не повторюється два роки поспіль.

Отже, щоб покрити 12 років, потрібно мати щонайменше 4 трьохрічних періоди, тобто 4 * 9 = 36 анекдотів. Таким чином, мінімальна кількість анекдотів, яку потрібно приготувати викладачеві Правенку, - це 36.

Answer 2

Для того щоб жоден анекдот не повторювався два рази поспіль протягом 12 років, ми можемо використовувати такий підхід:

Спочатку складемо послідовність анекдотів для кожного з 12 років, а потім обчислимо загальну кількість анекдотів, яку потрібно приготувати.

Для першого року викладач Правенко може вибрати будь-який анекдот (скажемо, 1-й).

Для другого року він не може вибирати анекдот номер 1 (оскільки він не повинен повторюватися два роки поспіль). Тому він може вибрати будь-який із залишених анекдотів (загалом їх залишилося 12 - 1 = 11).

Для третього року він також не може вибирати анекдоти номер 1 і номер 2. Тому він може вибрати будь-який із залишених анекдотів (загалом їх залишилося 12 - 2 = 10).

Таким чином, для кожного року від 1-го до 12-го викладач Правенко може вибрати анекдот із кількості залишених анекдотів, яка дорівнює (12 - рік + 1).

Отже, ми можемо обчислити загальну кількість анекдотів, яку потрібно приготувати, як суму кількостей анекдотів для кожного року:

Кількість анекдотів = (12 - 1 + 1) + (12 - 2 + 1) + (12 - 3 + 1) + ... + (12 - 12 + 1)

Кількість анекдотів = 12 + 11 + 10 + ... + 1

Ми можемо обчислити цю суму арифметичної прогресії:

Кількість анекдотів = (12/2) * (12 + 1) = 6 * 13 = 78

Отже, викладачу Правенку потрібно приготувати щонайменше 78 анекдотів, щоб жоден з них не повторювався два роки поспіль упродовж 12 років.