Question

Доведіть що F(x) = x ⋅ e є первісною для функції f(x)=(1+x)e^x

Answer 1

Ответ:Правила інтегрування

C⋅f(x)dx=C⋅f(x)dx

(f(x)±g(x))dx=f(x)dx±g(x)dx

Таблиця первісних

xndx=+C

dx=ln|x|+C

sinxdx=-cosx+C

cosxdx=sinx+C

dx=tgx+C

dx= -ctgx+C

axdx=+C

exdx=ex+C

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Відповідь: доведення.

Покрокове пояснення:

Answer 3

Щоб довести, що $F(x) = x \cdot e$ є первісною для функції $f(x) = (1+x)e^x$, ми повинні перевірити, чи є $F(x)$ похідною функції $f(x)$.

Давайте обчислимо похідну виразу $F(x)$: $F'(x) = \frac{d}{dx}(x \cdot e) = 1 \cdot e + x \cdot \frac{d}{dx}(e) = e + x \cdot 0 = e$

Тепер ми маємо похідну $F'(x)$, яка дорівнює $e$.

Тепер давайте обчислимо похідну функції $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}((1+x)e^x) = \frac{d}{dx}(e^x + xe^x) = e^x + xe^x$

Отже, $f'(x) = e^x + xe^x$.

Ми бачимо, що $f'(x)$ і $F'(x)$ дорівнюють одному і тому ж виразу $e$. Це означає, що $F(x)$ є первісною для функції $f(x)$.

Таким чином, ми довели, що $F(x) = x \cdot e$ є первісною для функції $f(x) = (1+x)e^x$.