Question

Исследовать функцию и построить график y = x+ 1/x

Answer 1

Пошаговое объяснение:

у=х+1/х

1.

у=0 ; 0=х+1/х ; х≠0

(х²+1)/х=0

х²+1=0

х²= -1

x∉R

нет пересечения с осью х

х=0 ; у=0+1/0 на 0 делить нельзя

нет пересечения с осью у

2.

х

1/х

х∈R

х∈(-∞;0)⋃(0; +∞)

область определения: х∈(-∞;0)⋃(0;+∞)

3.

а) вертикальная асимптота

lim (x+1/x)

x->0

lim (x+1/x)

x->0-

lim (x+1/x) +∞

x->0+

lim(x) 0

x->0- -∞

lim(1/x) -∞

x->0-

x=0 вертикальная асимптота

б) горизонтальная асимптота

lim (x+1/x)

x->+∞

lim (x+1/x)

x->-∞

lim(x) +∞

x->+∞ +∞

lim(1/x) 0

x->+∞

lim(x) -∞

x->-∞ -∞

lim(1/x) 0

x->-∞

нет горизонтальных асимптот

в) наклонная асимптота

lim((x+1/x)/x)

x->+∞

lim(x+1/x) +∞

x->+∞

lim(x) +∞

x->+∞

lim((x²+1)/x)/x)=lim((x²+1)/x²)=lim(x²+(1+1/x²)/x²)=

x->+∞ x->+∞ x->+∞

=lim((1+1/x²)=1+0=1

x->+∞

lim(x+1/x -x)

x->+∞

lim(1/x) 0

x->+∞

y=1x+0

y=x наклонная асимптота

4.

f(x)=x+1/x x≠0

f'(x)=1-1/x²

0=1-1/x²

1/x²=1

x²=1

x= ±1

+ - - +

——o——-o——o——

-1 0 1

f'(-2)=3/4

f'(-1/2)= -3

f'(1/2)= -3

f'(2)=3/4

локальный максимум х= -1

локальный минимум х=1

f(-1)= -1+1/(-1)= -2

f(1)=1+1/1=2

уmax= -2 в точке х= -1

уmin = 2 в точке х=1

5.

у"=2/x³ ;x≠0

0=2/x³

2=0

ø

точка перегиба возможна при х=0

т.к при х=0 функция не определена,то

нет точек перегиба.

6.

f(x)=x+1/x

f(-x)=(-x)+1/(-x)= -x-1/x= -(x+1/x)

f(-x)= -f(x)

нечётная

7 график на фото

Answer 2

Давайте исследуем функцию y = x + 1/x и построим её график. Для начала определим область определения функции. Функция определена для всех значений x, кроме x = 0, так как деление на ноль не определено.

Теперь давайте проанализируем поведение функции при различных значениях x:

1. x > 0: При положительных значениях x функция будет расти, и чем больше x, тем больше будет y. Это происходит из-за положительного слагаемого x и уменьшения значения 1/x при увеличении x.

2. x < 0: При отрицательных значениях x функция также будет расти, и чем меньше x по модулю, тем больше будет y. Это происходит из-за отрицательного слагаемого x и уменьшения значения 1/x при уменьшении x по модулю.

3. x = 0: Функция не определена в точке x = 0, так как в этом случае происходит деление на ноль.

Теперь давайте построим график функции, чтобы визуализировать её поведение:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Создаем массив значений x от -10 до 10, исключая x = 0
x = np.linspace(-10, 10, 1000)
x = x[x != 0]

# Вычисляем соответствующие значения y
y = x + 1 / x

# Строим график
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='y = x + 1/x', color='b')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = x + 1/x')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.legend()
plt.ylim(-10, 10)  # Ограничиваем ось y для лучшей видимости

plt.show()

На графике вы увидите, что функция y = x + 1/x действительно растет при x > 0 и x < 0, и она не определена при x = 0. График будет симметричным относительно оси y = x и имеет асимптоты при x = 0 и y = 0.