Question

Даны вершины треугольника А (4,-3), B (7,3), C (1,10) Найти а) уравнение стороны ABб) уравнение высоты CHв) уравнение медианы AMг) точку N пересечения медианы AM и высоты CHд) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне ABе) расстояние от точки C до прямой ABОчень срочно, помогите пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

Вершины треугольника :   $\bf A(4;-3)\ ,\ B(7;3)\ ,\ C(1;10)$  .

a) Уравнение АВ запишем как уравнение прямой, проходящей через 2 точки .

$\bf AB:\ \dfrac{x-4}{7-4}=\dfrac{y+3}{3+3}\ \ \ ,\ \ \ \dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y+3}{6}\ \ ,\ \ \ \dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y+3}{2}\ \ \Rightarrow \ \ \overline{s}=(1;2)$  

$\bf 2x-8=y+3\ \ ,\ \ \ \underline{2x-y-11=0}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \overline{n}=(2;-1)$

б)  Для высоты СН вектор АВ - нормальный вектор .

$\bf \overline{AB}=(3;6)\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \overline{n}=(1;2)\\\\CH:\ \ \ 1\cdot (x-1)+2\cdot (y-10)=0\ \ ,\ \ \ \underline {x+2y-21=0}$  

в)  Точка М - середина стороны ВС . Найдём ей координаты .

$\bf x_{M}=\dfrac{7+1}{2}=4\ \ ,\ \ \ y_{M}=\dfrac{3+10}{1}=6,5\\\\\\AM:\ \ \dfrac{x-4}{4-4}=\dfrac{y+3}{6,5+3}\ \ ,\ \ \ 9,5(x-4)=0\ \ ,\ \ \underline{x-4=0\ }$  

г)  Точка пересечения АМ и СН .

$\left\{\begin{array}{l}\bf x+2y=21\\\bf x-4=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 4+2y=21\\\bf x=4\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 2y=17\\\bf x=4\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=8,5\\\bf x=4\end{array}\right$  

Точка  ( 4 ; 8,5 ) .

д)  Прямая параллельна АВ и проходит через точку С .

$\bf \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-10}{2}\ \ ,\ \ \ 2x-2=y-10\ \ ,\ \ \underline{2x-y+8=0}$  

e)  Расстояние от точки С до АВ .    

$\bf d=\dfrac{|\, 2\cdot 1-10-11\, |}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\dfrac{19}{\sqrt{5}}$        

Answer 2

Давайте решим поставленные задачи:

а) Уравнение стороны AB:

Уравнение прямой, проходящей через две точки A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), можно найти, используя уравнение прямой в общем виде:

$y - y₁ = \frac{{y₂ - y₁}}{{x₂ - x₁}} \cdot (x - x₁)$

Для точек A(4,-3) и B(7,3):

$y + 3 = \frac{{3 - (-3)}}{{7 - 4}} \cdot (x - 4)$

Упростим:

$y + 3 = 2x - 5$

$2x - y = 8$

б) Уравнение высоты CH:

Высота перпендикулярна основанию треугольника, поэтому если C(h, k) - координаты вершины C, то уравнение высоты будет иметь вид $x = h$.

в) Уравнение медианы AM:

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Координаты середины отрезка можно найти по формулам:

$x_m = \frac{{x₁ + x₂}}{2}$

$y_m = \frac{{y₁ + y₂}}{2}$

Для точек A(4,-3) и B(7,3) медиана, исходящая из вершины A, будет проходить через точку M(5.5, 0):

Уравнение прямой, проходящей через A(4,-3) и M(5.5, 0):

$y + 3 = \frac{{0 - (-3)}}{{5.5 - 4}} \cdot (x - 4)$

Упростим:

$y + 3 = 6x - 21$

$6x - y = 18$

г) Точка N пересечения медианы AM и высоты CH:

Так как высота CH параллельна оси x, а медиана AM имеет уравнение $6x - y = 18$, то точка пересечения N будет иметь координаты (h, 0), где h - абсцисса вершины C. Так как высота CH проходит через C(1,10), то h = 1. Таким образом, точка N(1, 0).

д) Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB:

Уравнение прямой, параллельной другой прямой с угловым коэффициентом k, имеет вид:

$y - y₁ = k \cdot (x - x₁)$

Для стороны AB угловой коэффициент k = $\frac{{y₂ - y₁}}{{x₂ - x₁}} = \frac{{3 - (-3)}}{{7 - 4}} = 2$.

Используя точку C(1,10), получаем:

$y - 10 = 2 \cdot (x - 1)$

$2x - y = -8$

е) Расстояние от точки C до прямой AB:

Формула для расстояния от точки C(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0:

$d = \frac{{|Ax₁ + By₁ + C|}}{{\sqrt{A² + B²}}}$

Для уравнения 2x - y + 8 = 0 и точки C(1,10):

$d = \frac{{|2 \cdot 1 - 1 \cdot 10 + 8|}}{{\sqrt{2² + (-1)²}}}$

$d = \frac{{|0|}}{{\sqrt{5}}} = 0$

Расстояние от точки C до прямой AB равно 0, что означает, что точка C лежит на прямой AB.