Question

Решите неравенство lg(x-1)+lg(x-2.5)>1

Answer 1

$> 1$

ОДЗ: $\left \{ {{x-1 > 0} \atop {x-2.5 > 0}} \right. \\\left \{ {{x > 1} \atop {x > 2.5}} \right. \\= > x > 2.5$

$> 1\\lg((x-1)(x-2.5)) > 1\\lg(x^2-3.5x+2.5) > 1\\x^2-3.5x+2.5 > 10\\x^2-3.5x-7.5 > 0\\2x^2-7x-15 > 0\\(2x+3)(x-5) > 0\\--"+"--(-\frac{3}{2}) --"-"--(5)--"+"-- > \\x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (5, +\infty)$

Учтем ОДЗ: $> <strong>Ответ</strong>: <img src=$ 0 0

Answer 2

Для решения неравенства lg(x-1) + lg(x-2.5) > 1, сначала объединим логарифмы в один логарифм, используя свойство логарифмов:

lg((x-1)(x-2.5)) > 1

Теперь избавимся от логарифма, применив экспоненциальную функцию к обеим сторонам неравенства:

(x-1)(x-2.5) > 10^1

(x-1)(x-2.5) > 10

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала раскроем скобки:

x^2 - 2.5x - x + 2.5 > 10

x^2 - 3.5x + 2.5 > 10

Теперь вычитаем 10 из обеих сторон:

x^2 - 3.5x - 7.5 > 0

Это квадратное неравенство может быть решено с помощью метода интервалов. Сначала найдем корни уравнения x^2 - 3.5x - 7.5 = 0:

Используем квадратное уравнение:

x = (-(-3.5) ± √((-3.5)^2 - 41(-7.5))) / (2*1)

x = (3.5 ± √(12.25 + 30)) / 2

x = (3.5 ± √42.25) / 2

x = (3.5 ± √42.25) / 2

x = (3.5 ± 6.5) / 2

Теперь найдем два значения x:

1. x1 = (3.5 + 6.5) / 2 = 10 / 2 = 5
2. x2 = (3.5 - 6.5) / 2 = -3 / 2 = -1.5

Теперь мы можем построить интервалы и определить, где выполняется неравенство:

Неравенство x^2 - 3.5x - 7.5 > 0 выполняется либо когда x < -1.5, либо когда x > 5.

Итак, решением неравенства lg(x-1) + lg(x-2.5) > 1 является интервал (-∞, -1.5) объединенный с интервалом (5, ∞).