Question

Движение материальной точки задано уравнением гармонического колебания x" + 4x = 0. Известно, что x (0) = 0 и х'(0) = 4 Решением уравнения является функция x(t) = A cos 2 t + B sin 2 t. a) Найдите значения А и В

Answer 1

Ответ:

Решением дифф. уравнения  (ЛОДУ)  $\bf x''+4x=0$   является функция

$\bf x=A\, cos\, 2t+B\, sin\, 2t$  .  

Начальные условия:   $\bf x(0)=0\ ,\ x'(0)=4$   .

$\bf x'=-2A\, sin\, 2t+2B\, cos\, 2t\\\\x'(0)=-2A\cdot 0+2B\cdot 1=4\ \ ,\ \ \ 2B=4\ \ ,\ \ B=2\\\\x(0)=A\cdot 1+B\cdot 0=0\ \ ,\ \ \ A=0$  

Решение имеет вид :   $\bf y=2\, sin\, 2t$  .

Answer 2

Для найти значения $A$ и $B$, используем начальные условия $x(0) = 0$ и $x'(0) = 4$.

1. Подставим $t = 0$ в $x(t)$:

   $x(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A \cdot 1 + 0 = A = 0$

   Так как $x(0) = 0$, то $A = 0$.

2. Теперь найдем производную $x'(t)$:

   $x(t) = B \sin(2t)$ $x'(t) = 2B \cos(2t)$

3. Подставим $t = 0$ в $x'(t)$ и используем второе начальное условие:

   $x'(0) = 2B \cos(0) = 2B \cdot 1 = 2B = 4$

   Отсюда получаем $B = 2$.

Итак, значения $A$ и $B$ равны соответственно 0 и 2. Решение уравнения $x'' + 4x = 0$ с начальными условиями $x(0) = 0$ и $x'(0) = 4$ задаётся функцией:

$x(t) = 2 \sin(2t)$.