Question

При разложении выражения ( х−у )^n в бином Ньютона, получены коэффициенты: 1,4,6,4,1 , чему равно n? 1. 3 2. 4 3. 6

Answer 1

Ответ:

4

Пошаговое объяснение:

$(a+b)^n=C_n^0a^nb^0+C_n^1a^{n-1}b^1+C_n^2a^{n-2}b^2+...+C_n^na^0b^n$

Можно посмотреть на второй коэффициент $C_n^1=n$. Он и показывает степень.

В примере второй коэффициент 1,4,6,4, 1 равен 4. Степень n=4.

Answer 2

Коэффициенты в разложении выражения $(x - y)^n$ в бином Ньютона задаются биномиальным коэффициентом $\binom{n}{k}$, где $k$ принимает значения от 0 до $n$.

Биномиальный коэффициент $\binom{n}{k}$ равен:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

где $n!$ обозначает факториал $n$, который равен произведению всех положительных целых чисел от 1 до $n$.

Таким образом, коэффициенты разложения $(x - y)^n$ равны:

$$1, n, \frac{n(n-1)}{2}, \frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \ldots, \frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}, \ldots, 1$$

В вашем случае, даны коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1. Сравниваем с биномиальными коэффициентами:

$$\begin{align*} &1 = \binom{n}{0} = 1 \\ &4 = \binom{n}{1} = n \\ &6 = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \\ &4 = \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \\ &1 = \binom{n}{4} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \\ &\ldots \end{align*}$$

Из этих уравнений видно, что $n = 4$.

Таким образом, правильный ответ: 2. 4.