Question

Решить дифференциальное уравнение второго порядка : y''=(y'/x)+(x^2/y')

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$y''=\dfrac{y'}{x}+\dfrac{x^2}{y'}$

Замена: $y'=k,\;y''=k'$.

$k'=\dfrac{k}{x}+\dfrac{x^2}{k},\;\Rightarrow\;k'-\dfrac{1}{x}k=\dfrac{x^2}{k}$

Получили уравнение Бернулли.

Замена: $k=uv,\;k'=u'v+uv'$, где $u=u(x),\;v=v(x)$.

$u'v+uv'+\dfrac{1}{x}uv=\dfrac{x^2}{uv}\\u'v+u\left(v'+\dfrac{1}{x}v\right)=\dfrac{x^2}{uv}\;\;\;(*)$

$v'+\dfrac{1}{x}v=0,\;\Rightarrow\;\dfrac{dv}{v}=\dfrac{dx}{x}$

Выбираем $v=x$ и подставляем в (*).

$u'x=\dfrac{x}{u},\;\Rightarrow\;u'=\dfrac{1}{u},\;\Rightarrow\;x+C_0=\dfrac{u^2}{2},\;\Rightarrow\;u=\pm\sqrt{2x+C_1}$

Обратная замена:

$k=uv=\pm x\sqrt{2x+C_1}$

Обратная замена:

$y'=\pm x\sqrt{2x+C_1},\;\Rightarrow\;y=\pm\int x\sqrt{2x+C_1}\,dx$

В интеграле делаем замену:

$t=2x+C_1,\;\Rightarrow\;x=\dfrac{t-C_1}{2},\;dx=\dfrac{dt}{2}$

Тогда:

$y=\pm\int \dfrac{t-C_1}{2}\cdot\sqrt{t}\cdot\dfrac{1}{2}\,dt=\pm\dfrac{1}{4}\int t^{3/2}-C_1t^{1/2}\,dt=\pm\dfrac{t^{5/2}}{10}\mp\dfrac{C_1t^{3/2}}{6}+C_2$

Обратная замена:

$y=\pm\dfrac{1}{10}\cdot\left(2x+C_1\right)^{5/2}\mp\dfrac{1}{6}\cdot C_1\left(2x+C_1\right)^{3/2}+C_2$

Уравнение решено!

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка сначала представим его в виде системы двух уравнений первого порядка, введя новую переменную. Давайте обозначим y' как новую переменную, например, u = y'.

Тогда у нас есть:

y'' = u' (по определению производной) Исходное уравнение теперь становится:

u' = (u/x) + (x^2/u)

Теперь у нас есть система из двух уравнений первого порядка:

1. u' = (u/x) + (x^2/u)
2. y' = u

Теперь мы можем решить эту систему. Давайте начнем с уравнения (2):

y' = u

Интегрируя обе стороны по x, получим:

y = ∫u dx + C1

Теперь вернемся к уравнению (1):

u' = (u/x) + (x^2/u)

Для решения этого уравнения сначала перемножим обе стороны на x^2u:

x^2u' = u^2 + x^3

Теперь заметим, что левая сторона теперь представляет собой производную (d/dx) от (x^2u):

d/dx (x^2u) = u^2 + x^3

Теперь мы можем интегрировать обе стороны по x:

∫d/dx (x^2u) dx = ∫(u^2 + x^3) dx

x^2u = (u^3)/3 + (x^4)/4 + C2

Теперь у нас есть уравнение, связывающее x, u и константы C1 и C2:

x^2u = (u^3)/3 + (x^4)/4 + C2

Теперь мы можем выразить u (y') из этого уравнения и подставить его обратно в уравнение для y:

u = ±sqrt((x^4)/4 + C2 - (x^2u)/3)

y = ∫u dx + C1

Теперь это интегральное уравнение можно решить, подставив выражение для u в интеграл. Решение будет содержать константы C1 и C2, которые зависят от начальных условий.