Question

Имеется проволока длиной 48 м. Требуется оградить этой проволокой прямоугольный участок земли, чтобы площадь огороженного участка была наибольшей. Найдите стороны этого прямоугольного участка.​

Answer 1

Ответ:

Стороны прямоугольного участка равны 12 м и 12 м. То есть - квадрат.

Пошаговое объяснение:

Имеется проволока длиной 48 м. Требуется оградить этой проволокой прямоугольный участок земли, чтобы площадь огороженного участка была наибольшей. Найдите стороны этого прямоугольного участка.​

Имеется проволока длиной 48 м. Требуется оградить этой проволокой прямоугольный участок земли...

⇒ Р уч. = 48 м

• Формула периметра прямоугольника:

               Р = 2 (a + b),

где а и b - стороны прямоугольника.

Подставим значение периметра в данную формулу и выразим одну сторону через другую.

48 = 2 (а + b)     |:2

a + b = 24

a = 24 - b

• Формула площади прямоугольника:

                S = ab

S = (24 - b) · b

Получили функцию зависимости площади от стороны прямоугольника.

...чтобы площадь огороженного участка была наибольшей.

Найдем, при каком значении b значение функции будет максимальной.

Для этого вычислим производную, приравняем к нулю и найдем корни.

S' = (24b - b²)' = 24 - 2b

24 - 2b = 0

-2b = -24     |:(-2)

b = 12

Отметим эту точку на числовой оси и определим знаки производной на промежутках:

$+++[12]---\\\;\;\;\;\;_\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{max}$

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум.

⇒ b max = 12

b = 12 м  ⇒  a = 24 - b = 24 - 12 = 12 (м)

Стороны прямоугольного участка равны 12 м и 12 м. То есть - квадрат.

Answer 2

Чтобы найти стороны прямоугольного участка земли с максимальной площадью, который можно огородить с помощью данной проволоки, мы можем воспользоваться методом математической оптимизации.

Пусть длина одной из сторон прямоугольника будет "x" метров, а длина другой стороны будет "48 - 2x" метров (учитывая, что у нас есть 48 метров проволоки, и мы используем ее для двух вертикальных сторон и одной горизонтальной стороны прямоугольника). Тогда площадь этого прямоугольника будет равна произведению длины и ширины:

Площадь = x * (48 - 2x)

Теперь мы можем найти производную этой функции площади по "x" и приравнять ее к нулю, чтобы найти значение "x", при котором площадь будет максимальной:

d(Площадь)/dx = x * (48 - 2x)' + (48 - 2x) * x' = 48 - 4x

Теперь приравняем производную к нулю:

48 - 4x = 0

4x = 48

x = 12 метров

Таким образом, одна из сторон прямоугольного участка должна быть равной 12 метрам, а другая сторона будет равной:

48 - 2x = 48 - 2 * 12 = 48 - 24 = 24 метра

Итак, оптимальные стороны прямоугольного участка с максимальной площадью будут 12 метров и 24 метра.