Question

Найти точки экстремума функции f(x) = x^10 + 1 / x^10​

Answer 1

Воспользуемся формулой $y=x^a\Rightarrow y'=ax^{a-1}$

$f'(x)=10x^9-\frac{10}{x^{11}}$

$f'(x)=0\Rightarrow 10x^9-\frac{10}{x^{11}}=0\Leftrightarrow 10x^{20}-10=0\Leftrightarrow x^{20}=1\Rightarrow x=\pm 1$

Это и есть две точки экстремума функции

P.S.

Обе точки - точки минимума функции

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = x^{10} + \frac{1}{x^{10}}$, мы начнем с нахождения производной функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем мы проверим значения второй производной, чтобы определить тип экстремума (минимум, максимум или седловую точку).

1. Найдем производную $f'(x)$: $f(x) = x^{10} + \frac{1}{x^{10}}$ $f'(x) = 10x^9 - 10x^{-11}$

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: $10x^9 - 10x^{-11} = 0$

Выразим общий множитель, который здесь равен 10: $10(x^9 - x^{-11}) = 0$

Теперь мы можем решить уравнение: $x^9 - x^{-11} = 0$

Умножим обе стороны на $x^{11}$, чтобы избавиться от дроби: $x^{20} - 1 = 0$

Теперь это уравнение можно решить: $x^{20} = 1$

Для решения этого уравнения у нас есть два корня: $x_1 = 1$ $x_2 = -1$

3. Теперь мы должны проверить значения второй производной $f''(x)$ в этих точках, чтобы определить тип экстремума.

$f''(x) = 90x^8 + 110x^{-12}$

Для $x = 1$: $f''(1) = 90(1)^8 + 110(1)^{-12} = 90 + 110 = 200 > 0$

Для $x = -1$: $f''(-1) = 90(-1)^8 + 110(-1)^{-12} = 90 + 110 = 200 > 0$

Таким образом, в обеих точках $x = 1$ и $x = -1$ функция имеет минимумы, так как вторая производная положительна.

Итак, точки экстремума функции $f(x) = x^{10} + \frac{1}{x^{10}}$ находятся в $x = 1$ и $x = -1$, и в обеих точках функция имеет минимумы.