Question

Докажите, что два круга на евклидовой плоскости радиусом меньше 1 не могут покрывать единичный круг

Answer 1

Довольно старая задача

Пусть $O$ — центр единичного круга, а $A,B$ — центры двух других кругов. Пусть $P,Q$ — две точки на границе единичного круга с $\angle POA=\angle AOQ=90^\circ$. Тогда $AP^2=OP^2+OA^2\geq OP^2=1$, значит, $P$ лежит вне окружности с центром в $A$. Точно так же $Q$ лежит вне этого круга. Следовательно, чтобы покрыть весь единичный круг, круг с центром в $B$ должен содержать как $P$, так и $Q$. Но это невозможно, так как их расстояние равно $2$, что больше диаметра этой окружности

Answer 2

Давайте докажем это утверждение от противного. Предположим, что есть два круга радиусом меньше 1, которые вместе покрывают единичный круг. Пусть R1 и R2 - радиусы этих двух меньших кругов.

Теперь мы можем рассмотреть сумму площадей этих двух кругов, которая должна быть больше или равна площади единичного круга, так как они его покрывают:

Площадь круга с радиусом r задается формулой: S = πr^2.

Таким образом, площадь первого меньшего круга (S1) равна πR1^2, а площадь второго меньшего круга (S2) равна πR2^2.

Сумма площадей этих двух меньших кругов равна:

S1 + S2 = πR1^2 + πR2^2.

Теперь, по предположению, эта сумма должна быть больше или равна площади единичного круга (S_unit), которая равна π:

S1 + S2 ≥ S_unit.

Подставляя значения площадей:

πR1^2 + πR2^2 ≥ π.

Теперь делим обе стороны неравенства на π:

R1^2 + R2^2 ≥ 1.

Однако это неравенство неверно, так как радиусы R1 и R2 меньше 1, и их квадраты будут также меньше 1. Таким образом, мы пришли к противоречию, исходное предположение о том, что два круга радиусом меньше 1 могут покрывать единичный круг, неверно. Таким образом, утверждение доказано от противного, и два круга с радиусами меньше 1 не могут покрывать единичный круг на евклидовой плоскости.