Question

Как найти производную подобной функции??? (sin2x)^5^(2x) Нашла формулу u^f(x) = e^(f(x)*ln(u)), но не могу разобраться откуда ее можно вывести. Если решать с помощью этой формулы, то ответ получаю верный, вроде

Answer 1

Да, вы правильно нашли формулу для вычисления производной функции вида $u^{f(x)}$

Ваша функция имеет вид $(\sin2x)^{5^{2x}}$. Для упрощения вычислений, мы можем применить формулу, которую вы нашли, и записать функцию в виде $e^{5^{2x}\ln(\sin2x)}$

Теперь мы можем вычислить производную этой функции. Для этого нам понадобятся следующие формулы:

1. Производная от $e^{f(x)}$ равна $f'(x)e^{f(x)}$

2. Производная от $f(x)g(x)$ равна $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.

3. Производная от $\ln(f(x))$ равна $\frac{f'(x)}{f(x)}$.

Используя эти формулы, мы получим:

$\frac{d}{dx}$$e^{5^{2x}\ln(\sin2x)}$ = $e^{5^{2x}\ln(\sin2x)} \cdot \frac{d}{dx}(5^{2x}\ln(\sin2x)).$

Теперь нам нужно вычислить производную от $5^{2x}\ln(\sin2x)$
Используя вторую формулу, мы получим:

$\frac{d}{dx}(5^{2x}\ln(\sin2x)) = 5^{2x}\ln(5)\cdot\frac{d}{dx}2x + 5^{2x}\cdot\frac{d}{dx}\ln(\sin2x)$

Теперь нам нужно вычислить производную от $\ln(\sin2x)$
Используя третью формулу, мы получим:

$\frac{d}{dx}\ln(\sin2x) = \frac{1}{\sin2x}\cdot\frac{d}{dx}\sin2x = \frac{2\cos2x}{\sin2x}$

Подставив все полученные значения в исходное выражение, мы получим производную исходной функции.

Теперь подставим значения в выражение для производной от $5^{2x}\ln(\sin2x)$:

$\frac{d}{dx}(5^{2x}\ln(\sin2x)) = 5^{2x}\ln(5)\cdot2 + 5^{2x}\cdot\frac{2\cos2x}{\sin2x}$

Теперь подставим это значение в выражение для производной исходной функции:

$\frac{d}{dx}e^{5^{2x}\ln(\sin2x)} = e^{5^{2x}\ln(\sin2x)} \cdot \left(5^{2x}\ln(5)\cdot2 + 5^{2x}\cdot\frac{2\cos2x}{\sin2x}\right)$

Вернемся к исходной записи функции:

$$$\frac{d}{dx}(\sin2x)^{5^{2x}} = (\sin2x)^{5^{2x}} \cdot \left(5^{2x}\ln(5)\cdot2 + 5^{2x}\cdot\frac{2\cos2x}{\sin2x}\right)$.$$

Это и есть производная исходной функции.

Answer 2

Формула, которую вы использовали, верна. Для нахождения производной функции $(\sin(2x))^{5^{2x}}$ можно воспользоваться этой формулой. Давайте разберемся, как это сделать.

Дано: $y = (\sin(2x))^{5^{2x}}$

Используем формулу $u^f(x) = e^{f(x) \ln(u)}$, где $u = \sin(2x)$ и $f(x) = 5^{2x}$. Тогда:

$y = e^{5^{2x} \ln(\sin(2x))}$

Теперь давайте найдем производную $y$ по $x$ с помощью цепного правила (chain rule).

Пусть $u = 5^{2x}$, тогда $\ln(u) = \ln(5^{2x}) = 2x \ln(5)$, а производная $\ln(u)$ по $x$ равна $\frac{d}{dx}(\ln(u)) = \frac{d}{dx}(2x \ln(5)) = 2\ln(5)$.

Пусть $v = \sin(2x)$, тогда $\ln(v) = \ln(\sin(2x))$, а производная $\ln(v)$ по $x$ можно найти с помощью производной композиции функций:

$\frac{d}{dx}(\ln(v)) = \frac{d}{dv}(\ln(v)) \cdot \frac{d}{dx}(v) = \frac{1}{v} \cdot \cos(2x) \cdot 2$

Теперь, используя цепное правило, мы можем найти производную $y$ по $x$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(e^{5^{2x} \ln(\sin(2x))}\right) = e^{5^{2x} \ln(\sin(2x))} \cdot \left(\frac{d}{dx}(5^{2x} \ln(\sin(2x)))\right)$

Теперь подставим производные, которые мы нашли ранее:

$\frac{dy}{dx} = e^{5^{2x} \ln(\sin(2x))} \cdot \left(\frac{d}{dx}(5^{2x} \ln(\sin(2x)))\right) = (\sin(2x))^{5^{2x}} \cdot \left(5^{2x} \cdot 2\ln(5) \cdot \frac{1}{\sin(2x)} \cdot \cos(2x) \cdot 2\right)$

Сокращаем некоторые части:

$\frac{dy}{dx} = 4\ln(5) (\sin(2x))^{5^{2x}} \cdot \cos(2x)$

Это и есть производная функции $(\sin(2x))^{5^{2x}}$ по $x$.