Question

Докажите что функция y=sin(x^2) непериодическая​

Answer 1

Предположим, что функция $y = \sin(x^2)$ периодическая с периодом $T$. Тогда для любого $x$ должно выполняться равенство $\sin(x^2) = \sin((x + T)^2)$. Раскрывая квадраты, получаем:

$\sin(x^2) = \sin(x^2 + 2xT + T^2)$

Так как $\sin(x^2) = \sin(x^2 + 2xT + T^2)$, то $\sin(2xT + T^2) = 0$

$2xT + T^2 = \pi n,n \in \mathbb{Z}$

Таким образом, $T(2x + T) = \pi n$

Так как $\pi$ является иррациональным числом, то $2x + T$ не может быть рациональным числом, что противоречит предположению о том, что функция $y = \sin(x^2)$ периодическая.

Answer 2

Чтобы доказать, что функция $y = \sin(x^2)$ является непериодической, мы можем воспользоваться методом от противного. Допустим, что она периодическая с каким-то периодом $T$. То есть для любого $x$ выполняется:

$f(x) = f(x + T)$

Теперь давайте рассмотрим производную функции $f(x) = \sin(x^2)$:

$f'(x) = 2x\cos(x^2)$

Если функция $f(x)$ периодическая с периодом $T$, то она должна быть периодической и её производная $f'(x)$. То есть:

$f'(x) = f'(x + T)$

Теперь возникает проблема. Функция $f'(x) = 2x\cos(x^2)$ не может быть периодической, так как её производная $f''(x) = -4x^2\sin(x^2)$ не равна нулю при всех значениях $x$, а значит, функция $f'(x)$ не может иметь период.

Следовательно, исходная функция $f(x) = \sin(x^2)$ также не может быть периодической, так как её производная не имеет период. Таким образом, функция $y = \sin(x^2)$ является непериодической.