Question

2. Доведiть, шо (x² + y²+z2)²=2(x+y+z), якшo x + y + z = 0

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Почнемо з квадрату виразу x + y + z = 0:

(x + y + z)² = 0²

Розкриємо квадрат на лівій стороні:

x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 0

Тепер, давайте використаємо інформацію, яку нам дано в умові, а саме x + y + z = 0. Замінимо x + y + z на 0 у виразі вище:

x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 0

Також, з умови x + y + z = 0 можна виділити один змінний за допомогою заміни:

x = -(y + z)

Тепер підставимо це значення x у вираз з пункту 4:

(y + z)² + y² + z² + 2(-y)(y + z) + 2(-z)(y + z) = 0

Розкриємо квадрати і спростимо:

y² + 2yz + z² + y² + z² - 2y² - 2yz - 2yz - 2z² = 0

Залишимо лише один член у виразі:

2(y² + z²) - 2(y² + z²) = 0

Виділимо двійки та знак мінус:

2(y² + z²) = 2(y² + z²)

Тепер ми отримали рівність двох виразів 2(y² + z²). Це означає, що вираз (y² + z²) належить обидвом сторонам рівняння.

Отже, (y² + z²)² = 2(y² + z²)

Залишилося довести, що (x² + y² + z²)² теж рівне 2(x + y + z). Згадаймо, що ми маємо умову, x + y + z = 0, і можемо використати її:

(x² + y² + z²)² = 2(x + y + z)

Тепер, замінюючи x + y + z на 0:

(x² + y² + z²)² = 2(0)

(x² + y² + z²)² = 0

Це означає, що (x² + y² + z²)² = 2(x + y + z), коли x + y + z = 0.

Таким чином, ми довели твердження.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что если x + y + z = 0, то (x² + y² + z²)² = 2(x + y + z), давайте воспользуемся фактом, что x + y + z = 0, чтобы выразить одну переменную через другие.

Мы можем выразить z через x и y из уравнения x + y + z = 0: z = -x - y

Теперь подставим это значение z в уравнение (x² + y² + z²)² = 2(x + y + z):

(x² + y² + (-x - y)²)² = 2(x + y - x - y)

Упростим выражение:

(x² + y² + (x² + 2xy + y²))² = 2(-2y)

Теперь упростим левую часть:

(x⁴ + 2x²y² + y⁴)² = -4y

Теперь возведем в квадрат обе стороны уравнения:

(x⁴ + 2x²y² + y⁴)⁴ = 16y²

Заметим, что левая сторона выглядит как четвертая степень суммы квадратов x² и y². Мы знаем, что x² + y² - это квадрат расстояния от точки (x, y) до начала координат, а значит, это неотрицательное значение. Следовательно, (x² + y² + y²)⁴ ≥ 0.

Теперь умножим обе стороны на 16:

16(x² + y² + y²)⁴ ≥ 16 * 0

16(x² + 2y²)⁴ ≥ 0

Это неравенство выполняется для любых допустимых значений x и y, так как квадрат не может быть отрицательным числом. Таким образом, мы доказали, что если x + y + z = 0, то (x² + y² + z²)² = 2(x + y + z) выполняется.