Question

Найдите минимум и максимум функции,точки перегиба функции y=x/(1+x^2)

Answer 1

y'=((1+x^2)-x*2x)/(1+x^2)^2=(1-x^2)/(1+x^2)^2

1-x^2=0

x=+-1

y(-1)=-1/(1+1)=-1/2 минимум

y(1)=1/2 максимум

y''=(-(1+x^2)*2x-(1-x^2)*2*2x)/(1+x^2)^3)=(6x^3-6x)/(1+x^2)^3

6x^3-6x=0

x^3-x=0

x=-1 x=0 x=1- точки перегиба

Answer 2

Для нахождения минимума и максимума функции, а также точек перегиба, мы начнем с анализа производных функции y = x / (1 + x^2).

1. Начнем с нахождения первой производной: y'(x) = d/dx [x / (1 + x^2)]

Используя правило дифференцирования частного и правило дифференцирования композиции функций, получаем:

y'(x) = (1 * (1 + x^2) - x * 2x) / (1 + x^2)^2 = (1 + x^2 - 2x^2) / (1 + x^2)^2 = (1 - x^2) / (1 + x^2)^2

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю, чтобы найти критические точки: y'(x) = 0

   (1 - x^2) / (1 + x^2)^2 = 0

Производная равна нулю, когда числитель равен нулю: 1 - x^2 = 0

Решая это уравнение, мы получаем x = ±1.

3. Теперь определим вторую производную, чтобы узнать, являются ли эти критические точки минимумами, максимумами или точками перегиба: y''(x) = d^2/dx^2 [x / (1 + x^2)]

Снова используя правила дифференцирования, получаем:

y''(x) = (d/dx) [(1 - x^2) / (1 + x^2)^2] = [(1 + x^2)^2 * (-2x) - (1 - x^2) * 2(1 + x^2)(2x)] / (1 + x^2)^4 = [-2x(1 + x^2)^2 - 2x(1 - x^2)(1 + x^2)] / (1 + x^2)^4

4. Теперь подставим найденные критические точки, x = ±1, во вторую производную:

   a) Для x = 1: y''(1) = [-2(1)(1 + 1^2)^2 - 2(1)(1 - 1^2)(1 + 1^2)] / (1 + 1^2)^4 = [-2(1)(4) - 2(1)(0)] / (2^4) = [-8 - 0] / 16 = -8/16 = -1/2

   b) Для x = -1: y''(-1) = [-2(-1)(1 + (-1)^2)^2 - 2(-1)(1 - (-1)^2)(1 + (-1)^2)] / (1 + (-1)^2)^4 = [-2(-1)(4) - 2(-1)(0)] / (2^4) = [8 - 0] / 16 = 8/16 = 1/2

Теперь у нас есть информация о знаках второй производной в точках x = 1 и x = -1:

• Для x = 1, y''(1) = -1/2, что означает, что это точка максимума.
• Для x = -1, y''(-1) = 1/2, что означает, что это точка минимума.

Итак, мы найдем минимум и максимум функции и точки перегиба:

• Минимум: (x, y) = (-1, -1/2)
• Максимум: (x, y) = (1, 1/2)
• Точки перегиба: x = ±1