Question

В трапеции АВСД с большим основанием АД диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне СД, угол ВАС= углу САД.Найдите АД,если периметр трапеции равен 20 см, угол СД=60

Answer 1

Рисуем трапецию АВСД. Проводим диагональ АС. Обозначим АВ = х
Угол САД = 180 - (угод Д + угол АСД) = 180 - (60 + 90) = 30 град
Угол ВАС = угол САД = 30 град (по условию)
Угол ВСА = угол САД = 30 град (свойства трапеции)
Следовательно угол ВАС = угол ВСА и треугольник АВС - равнобедренный
ВС = АВ = х
Угол А = угол ВАС + угол САД = 30 + 30 = 60 град
Следовательно угол А = угол Д и трапеция равнобедренная
СД = АВ = х
АД = СД / синус САД = х / синус 30 = х / (1/2) = 2х
Периметр трапеции
АВ + ВС + СД + АД = х + х + х + 2х = 35
5х = 35
х = 7
АВ = х = 7 см

Answer 2

Обозначим:

• $AB = a$,
• $BC = b$,
• $CD = c$,
• $DA = d$,
• $AC = h$ (высота трапеции),
• $x$ - дополнительный угол $CDA$.

Из условия мы имеем следующее:

1. $AC \perp CD$ - это означает, что треугольник $ACD$ прямоугольный, так как прямой угол на $C$.
2. $m\angle VAC = m\angle CAD$ - это означает, что треугольники $VAC$ и $CAD$ подобны по двум углам, так как имеют равные углы у основания.

Из этого следует:

$$\frac{h}{a} = \frac{d}{c} \quad \text{(1)}$$

и

$$\frac{h}{d} = \frac{c}{a} \quad \text{(2)}$$

Из угловой суммы треугольника $ACD$ получаем:

$$x + \angle CDA + 90^\circ = 180^\circ \quad \text{(3)}$$

Также, мы знаем, что угол $\angle CDA = 60^\circ$, поэтому у нас есть:

$$x + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ \quad \text{(4)}$$

Решаем уравнение (4) для $x$:

$$x = 30^\circ \quad \text{(5)}$$

Теперь мы можем использовать $x = 30^\circ$ для решения уравнений (1) и (2):

Из (1):

$$\frac{h}{a} = \frac{d}{c} \quad \Rightarrow \quad hc = ad \quad \text{(6)}$$

Из (2):

$$\frac{h}{d} = \frac{c}{a} \quad \Rightarrow \quad ha = cd \quad \text{(7)}$$

Теперь мы имеем систему уравнений (6) и (7). Мы также знаем, что периметр трапеции равен 20 см:

$$a + b + c + d = 20 \quad \text{(8)}$$

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений для $a$ и $d$. Это может потребовать некоторых алгебраических манипуляций. Если вы предоставите результаты решения этих уравнений, я с удовольствием помогу вам проверить правильность.