Question

Написать разложение вектора x ⃗ по векторам p ⃗, q ⃗ , r ⃗ x ⃗ = {6,‒1, 7}, p ⃗ = {1,‒2,0}, q ⃗= {‒1,1,3}, r ⃗ = {1,0,4}

Answer 1

$x=ap+bq+cr \\ (6,-1,7)=a(1,-2,0)+b(-1,1,3)+c(1,0,4) \\ (6,-1,7)=(a-b+c,-2a+b+0c,0a+3b+4c)$
Теперь осталось решить систему линейных уравнений:
$\left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-2&1&0\\0&3&4\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}6&-1&7\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}11&-1&1\\0&-1&2\\0&3&4\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}6&11&7\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\0&-1&2\\0&0&1\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}6&11&4\end{array}\right]\\ (a,b,c)=(-1,-3,4)$
Я решал систему через матрицу методом Гаусса, но если матрицы не проходили - можно решить любым другим способом.
Ответ: $x=-p-3q+4r$

Answer 2

Для разложения вектора x ⃗ по векторам p ⃗, q ⃗ и r ⃗, мы можем использовать метод проекции вектора x ⃗ на каждый из этих векторов. Проекция вектора x ⃗ на вектор p ⃗ обозначается как proj_p(x ⃗), проекция на вектор q ⃗ - как proj_q(x ⃗), и проекция на вектор r ⃗ - как proj_r(x ⃗). Затем мы можем сложить эти проекции, чтобы получить разложение вектора x ⃗. Формула для проекции вектора a ⃗ на вектор b ⃗:

proj_b(a ⃗) = ((a ⃗ ⋅ b ⃗) / (||b ⃗||^2)) * b ⃗,

где a ⃗ ⋅ b ⃗ - скалярное произведение векторов, ||b ⃗|| - длина вектора b ⃗.

Давайте вычислим проекции и получим разложение вектора x ⃗:

1. Проекция на вектор p ⃗: proj_p(x ⃗) = ((x ⃗ ⋅ p ⃗) / (||p ⃗||^2)) * p ⃗

x ⃗ ⋅ p ⃗ = {6, -1, 7} ⋅ {1, -2, 0} = (6 * 1) + (-1 * -2) + (7 * 0) = 6 + 2 + 0 = 8

||p ⃗|| = ||{1, -2, 0}|| = √(1^2 + (-2)^2 + 0^2) = √(1 + 4 + 0) = √5

Теперь вычислим proj_p(x ⃗):

proj_p(x ⃗) = (8 / (√5^2)) * {1, -2, 0} = (8 / 5) * {1, -2, 0} = {8/5, -16/5, 0}

2. Проекция на вектор q ⃗: proj_q(x ⃗) = ((x ⃗ ⋅ q ⃗) / (||q ⃗||^2)) * q ⃗

x ⃗ ⋅ q ⃗ = {6, -1, 7} ⋅ {-1, 1, 3} = (-6) + (-1) + (21) = 14

||q ⃗|| = ||{-1, 1, 3}|| = √((-1)^2 + 1^2 + 3^2) = √(1 + 1 + 9) = √11

Теперь вычислим proj_q(x ⃗):

proj_q(x ⃗) = (14 / (√11^2)) * {-1, 1, 3} = (14 / 11) * {-1, 1, 3} = {-14/11, 14/11, 42/11}

3. Проекция на вектор r ⃗: proj_r(x ⃗) = ((x ⃗ ⋅ r ⃗) / (||r ⃗||^2)) * r ⃗

x ⃗ ⋅ r ⃗ = {6, -1, 7} ⋅ {1, 0, 4} = (6 * 1) + (-1 * 0) + (7 * 4) = 6 + 0 + 28 = 34

||r ⃗|| = ||{1, 0, 4}|| = √(1^2 + 0^2 + 4^2) = √(1 + 0 + 16) = √17

Теперь вычислим proj_r(x ⃗):

proj_r(x ⃗) = (34 / (√17^2)) * {1, 0, 4} = (34 / 17) * {1, 0, 4} = {2, 0, 8}

Теперь мы можем получить разложение вектора x ⃗:

x ⃗ = proj_p(x ⃗) + proj_q(x ⃗) + proj_r(x ⃗) x ⃗ = {8/5, -16/5, 0} + {-14/11, 14/11, 42/11} + {2, 0, 8} x ⃗ = {8/5 - 14/11 + 2, -16/5 + 14/11 + 0, 0 + 42/11 + 8} x ⃗ = {(88 + 70 - 110) / 55, (-88 + 70) / 55, (0 + 462 + 88) / 55} x ⃗ = {-52/55, -18/55, 550/55}

Итак, разложение вектора x ⃗ по векторам p ⃗, q ⃗ и r ⃗:

x ⃗ = {-52/55, -18/55, 550/55} = {-52/55, -18/55, 10}