Question

Найти точку максимума функции y=(x+4)^2 * e^2-x

Answer 1

Точка максимума A(-2;4e^4)

Answer 2

Чтобы найти точку максимума функции $y = (x+4)^2 \cdot e^{2-x}$, нужно сначала найти её производную и найти значения $x$, при которых производная равна нулю. Затем мы проверим значение второй производной в этих точках, чтобы убедиться, что это действительно точка максимума.

Давайте начнем с вычисления производной функции $y$. Используем правило производной произведения и правило дифференцирования экспоненты:

$y' = \frac{d}{dx}((x+4)^2 \cdot e^{2-x})$ $y' = (2(x+4) \cdot e^{2-x}) + ((x+4)^2 \cdot (-e^{2-x}))$

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$0 = (2(x+4) \cdot e^{2-x}) + ((x+4)^2 \cdot (-e^{2-x}))$

Мы можем разделить обе стороны уравнения на $e^{2-x}$, так как $e^{2-x}$ не может быть равным нулю:

$0 = 2(x+4) - (x+4)^2\cdot e^{2-x}$

Теперь давайте решим это уравнение:

$2(x+4) = (x+4)^2\cdot e^{2-x}$

Мы видим, что $x+4$ является общим множителем, поэтому мы можем сократить его:

$2 = (x+4)e^{2-x}$

Теперь давайте решим это уравнение для $x$. Для начала, возьмем логарифм с обеих сторон:

$\ln(2) = \ln(x+4) + (2-x)$

Теперь избавимся от $x$ во втором члене:

$\ln(2) = \ln(x+4) + 2 - x$

Теперь выразим $x$:

$x = 2 + \ln(2) - \ln(x+4)$

Это уравнение не имеет аналитического решения в явной форме, поэтому мы можем найти его численное решение. Воспользуемся методом численной оптимизации или калькулятором, чтобы найти приближенное значение $x$.

Когда вы найдете значение $x$, вы сможете найти соответствующее значение $y$ с помощью исходной функции $y = (x+4)^2 \cdot e^{2-x}$, и это будет точкой максимума функции.