Question

Найти точки перегиба y=ln(x^2+1)

Answer 1

Найти точки перегиба y=ln(x^2+1).y ' =( Ln(x² +1)) '  =1/(x² +1)* (x² +1) ' = 1/(x²+1)*((x²) '  + (1) ' ) =
=1/(x² +1)*(2x +0) = 2x/(x² +1) ;
y ' ' = (y' )' = ( 2x/(x² +1)) '  =2((x)'(x² +1) - x(x²+1) ')/(x² +1)² ) =
= 2( x² +1 - x*2x)/(x² +1)² = 2(1 - x²)/(x² +1)² ; 
 
y '' = 0  ⇒  2(1 - x²)/(x² +1)²  =0 ⇔ (1 +x)(1-x) = 0 ; x₁ = - 1 , x₂=1. 

ответ :   - 1 ,  1. 

Answer 2

Для нахождения точек перегиба функции y = ln(x^2 + 1), нам нужно найти её вторую производную и решить уравнение f''(x) = 0, где f''(x) - это вторая производная функции f(x).

1. Найдем первую производную функции y = ln(x^2 + 1):

y = ln(x^2 + 1)

y' = (1 / (x^2 + 1)) * (2x) = (2x) / (x^2 + 1)

2. Теперь найдем вторую производную:

y'' = [((x^2 + 1) * 2 - 2x * (2x)) / (x^2 + 1)^2] = [2(x^2 + 1 - 4x^2) / (x^2 + 1)^2] = [2(1 - 3x^2) / (x^2 + 1)^2]

3. Решим уравнение y''(x) = 0:

2(1 - 3x^2) / (x^2 + 1)^2 = 0

Теперь мы можем найти значения x, при которых производная равна нулю:

1 - 3x^2 = 0

3x^2 = 1

x^2 = 1/3

x = ±√(1/3)

Таким образом, у нас есть две точки перегиба:

x1 = √(1/3) x2 = -√(1/3)

Чтобы найти соответствующие значения y, подставим эти x в исходную функцию:

y1 = ln(√(1/3)^2 + 1) = ln(1/3 + 1) = ln(4/3) y2 = ln((-√(1/3))^2 + 1) = ln(1/3 + 1) = ln(4/3)

Итак, точки перегиба:

(x1, y1) = (√(1/3), ln(4/3)) (x2, y2) = (-√(1/3), ln(4/3))