Question

Вам нужно лететь в Сиэтл, и вы хотите узнать, надо ли брать зонт. Вы звоните трем местным друзьям и спрашиваете у каждого, идет ли дождь. Все трое говорят «да». Но каждом случае вероятность того, что человек сказал вам правду, составляет 2/3, а 1/3 – что он соврал «по приколу». Какова вероятность того, что в Сиэтле действительно идет дождь?

Answer 1

Если я верно думаю, то 1 к 3.

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой условной вероятности, известной как формула Байеса. Давайте обозначим следующие события:

A - в Сиэтле действительно идет дождь. B1 - первый друг говорит, что идет дождь. B2 - второй друг говорит, что идет дождь. B3 - третий друг говорит, что идет дождь.

Мы хотим найти вероятность события A, то есть вероятность того, что в Сиэтле действительно идет дождь, при условии, что все трое друзей сказали "да". Мы можем использовать формулу Байеса:

P(A|B1B2B3) = (P(A) * P(B1B2B3|A)) / P(B1B2B3)

P(A) - это априорная вероятность того, что в Сиэтле действительно идет дождь, исходя из общей статистики или метеорологических данных. Поскольку нам не даны конкретные числовые значения, предположим, что P(A) = 0,5 (50% вероятность дождя в Сиэтле).

P(B1B2B3|A) - это вероятность того, что все трое друзей скажут "да", если действительно идет дождь. Поскольку каждый друг говорит правду с вероятностью 2/3, вероятность того, что все они скажут правду при наличии дождя, равна (2/3) * (2/3) * (2/3) = 8/27.

P(B1B2B3) - это полная вероятность того, что все трое друзей скажут "да". Это можно выразить как:

P(B1B2B3) = P(A) * P(B1B2B3|A) + P(не A) * P(B1B2B3|не A)

P(не A) - это вероятность того, что в Сиэтле нет дождя, исходя из априорной вероятности (1 - P(A) = 1 - 0,5 = 0,5). Вероятность того, что каждый друг скажет "да", когда нет дождя, также равна 2/3, поскольку они могут соврать с вероятностью 1/3.

P(B1B2B3|не A) = (2/3) * (2/3) * (2/3) = 8/27.

Теперь мы можем вычислить P(B1B2B3):

P(B1B2B3) = P(A) * P(B1B2B3|A) + P(не A) * P(B1B2B3|не A) P(B1B2B3) = (0,5) * (8/27) + (0,5) * (8/27) = 8/27.

Теперь мы можем найти P(A|B1B2B3) с использованием формулы Байеса:

P(A|B1B2B3) = (P(A) * P(B1B2B3|A)) / P(B1B2B3) P(A|B1B2B3) = (0,5 * (8/27)) / (8/27) = 0,5.

Таким образом, вероятность того, что в Сиэтле действительно идет дождь, при условии, что все трое друзей сказали "да", равна 0,5 или 50%.