Question

Помогите пожалуйста!!! Случайная величина X равномерно распределена на [a, b]. Дано математическое ожидание M(X) = 3 и дисперсия D(X) =4/3 . Найти: а) значения параметров a, b; б) функцию плотности f(x) и функцию распределения F(x); в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок [2, 5]. Построить графики функций f(x) и F(x) и показать на них геометрический смысл P(2 <= X<= 5).

Answer 1

F(x)=0 при x<a
f(x)=0 при x>b
f(x)=c при a<x<b
integral [-беск;+беск] f(x)*dx =integral [a;b] c*dx = c*(b-a)=1
c=1/(b-a)
f(x)=1/(b-a) при a<x<b

MX=
=integral [-беск;+беск] f(x)*x*dx =
=1/(b-a)* integral [a;b] x*dx =
=1/(b-a)*  x^2/2 [a;b] =
=1/(b-a)* ( b^2/2 - a^2/2) =
=(b+a)/2 = 3

MX^2=
=integral [-беск;+беск] f(x)*x^2*dx =
=1/(b-a)* integral [a;b] x^2*dx =
=1/(b-a)*  x^3/3 [a;b] =
=1/(b-a)* ( b^3/3 - a^3/3) =
=(b^2+ab+a^2)/3

DX=
=MX^2 - (MX)^2=
=(b^2+ab+a^2)/3 - (b+a)^2/4 =
= (4b^2+4ab+4a^2-3b^2-6ab-3a^2)/12 =
= (b^2-2ab+a^2)/12 =
= (b-a)^2/12 =
= 4/3
***************************
(b+a)/2 = 3
(b-a)^2/12 = 4/3
****************
b+a = 6
(b-a)^2 = 16
****************
b+a = 6
b-a= 4
****************
b=5;a=1

f(x)=0 при x<1
f(x)=0 при x>5
f(x)=1/4 при 1<x<5

F(x)=integral [-беск;x] f(t)*dt
F(x)=0 при x<1
F(x)=(x-1)/4 при 1<x<5
F(x)=1 при x>5

P(x є [2;5]) = F(5) - F(2) = 1 - (2-1)/4 = 3/4

Answer 2

Для нахождения параметров a и b равномерного распределения, а также функции плотности f(x) и функции распределения F(x) используем следующие свойства:

1. Для равномерного распределения математическое ожидание M(X) вычисляется по формуле: M(X) = (a + b) / 2

2. Дисперсия D(X) вычисляется по формуле: D(X) = (b - a)^2 / 12

3. Функция плотности f(x) для равномерного распределения на интервале [a, b] равна: f(x) = 1 / (b - a), если a <= x <= b; иначе f(x) = 0

4. Функция распределения F(x) для равномерного распределения на интервале [a, b] равна: F(x) = (x - a) / (b - a), если a <= x <= b; иначе F(x) = 0, если x < a, и F(x) = 1, если x > b

Теперь решим поставленные задачи:

а) Начнем с нахождения параметров a и b. Известно, что M(X) = 3 и D(X) = 4/3. Подставим эти значения в соответствующие формулы:

M(X) = (a + b) / 2 D(X) = (b - a)^2 / 12

Заметим, что M(X) = 3 означает, что (a + b) / 2 = 3, или a + b = 6.

Теперь, используя D(X) = 4/3:

4/3 = (b - a)^2 / 12

Умножим обе стороны на 12:

16 = (b - a)^2

Извлечем корень:

4 = b - a

Теперь у нас есть система двух уравнений:

1. a + b = 6
2. b - a = 4

Решая эту систему уравнений, найдем значения a и b.

Сложим оба уравнения:

(a + b) + (b - a) = 6 + 4

2b = 10

b = 5

Теперь подставим значение b во второе уравнение:

5 - a = 4

a = 5 - 4

a = 1

Итак, a = 1 и b = 5.

б) Теперь, когда мы знаем параметры a и b, мы можем найти функцию плотности f(x) и функцию распределения F(x):

Функция плотности f(x): f(x) = 1 / (5 - 1) = 1/4, если 1 <= x <= 5; иначе f(x) = 0

Функция распределения F(x): F(x) = (x - 1) / (5 - 1) = (x - 1) / 4, если 1 <= x <= 5; F(x) = 0, если x < 1; F(x) = 1, если x > 5

в) Теперь найдем вероятность попадания случайной величины X на отрезок [2, 5]. Для этого вычислим разность F(5) и F(2):

P(2 <= X <= 5) = F(5) - F(2) = [(5 - 1) / 4] - [(2 - 1) / 4] = (4/4) - (1/4) = 3/4

Таким образом, вероятность попадания случайной величины X на отрезок [2, 5] равна 3/4.

Теперь давайте построим графики функции плотности f(x) и функции распределения F(x) и покажем геометрический смысл P(2 <= X <= 5):

График f(x):

markdownCopy code
  |
1 |       ___
  |      |   |
  |      |   |
0 |______|___|________
  1     2   5

На графике функции плотности видно, что она равна 1/4 на интервале [1, 5] и равна 0 вне этого интервала.

График F(x):

markdownCopy code
  |
1 |         ___
  |        |   |
  |        |   |
0 |________|___|________
  1       2   5

На графике функции распределения видно, что F(x) линейно возрастает на интервале [1, 5] и имеет значение 0 до 1 и после 5.

Геометрический смысл P(2 <= X <= 5) на графике F(x) представляет собой площадь под кривой между x = 2 и x = 5. Эта площадь равна 3/4, что соответствует вероятности попадания X в интервал [2, 5].