Question

Исследовать функцию и построить ее график y=(4/x)+(1/x^4)

Answer 1

Y=4/x +1/x^4
D(y)∈(-∞;∞)
y(-x)=-4/x+1/x^4 ни четная ни нечетная
y=0  x=-1/∛4    (-1/∛4;0)-точка пересечения с осью ох
y`=-4/x²-4/x^5=-4(x³+1)/x^5=0
x³+1=0⇒x³=-1⇒x=-1      x=0 мнимая
         _                 +                  _
------------(-1)--------------(0)-------------
убыв    min возр                убыв
y(-1)=-3

Answer 2

Для исследования функции y = (4/x) + (1/x^4) сначала мы можем проанализировать ее основные характеристики, такие как область определения, асимптоты, интервалы возрастания и убывания, а также точки экстремума.

1. Область определения: Функция y = (4/x) + (1/x^4) определена для всех значений x, кроме x = 0, так как деление на ноль невозможно. То есть, ее область определения - это множество всех действительных чисел, кроме x = 0.

2. Асимптоты: a) Горизонтальная асимптота: Когда x стремится к бесконечности (x → ∞), выражение (4/x) стремится к нулю, и выражение (1/x^4) также стремится к нулю. Поэтому горизонтальная асимптота функции находится на уровне y = 0.

b) Вертикальная асимптота: Когда x стремится к нулю (x → 0), выражение (4/x) стремится к бесконечности (положительной или отрицательной), и выражение (1/x^4) также стремится к бесконечности (положительной). Таким образом, у функции есть вертикальная асимптота в точке x = 0.

3. Точки экстремума: Чтобы найти точки экстремума, давайте найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю:

y = (4/x) + (1/x^4)

y' = (-4/x^2) - (4/x^5)

Теперь приравняем y' к нулю и решим уравнение:

(-4/x^2) - (4/x^5) = 0

Поделим обе стороны на -4/x^2:

1 + (1/x^3) = 0

1/x^3 = -1

x^3 = -1

x = -1

Таким образом, у нас есть одна точка экстремума при x = -1.

4. Интервалы возрастания и убывания: Для определения интервалов возрастания и убывания функции, мы можем использовать производную. Поскольку производная равна (-4/x^2) - (4/x^5), она отрицательна на интервалах, где (-4/x^2) > (4/x^5), и положительна на интервалах, где (-4/x^2) < (4/x^5).

Рассмотрим интервалы: a) x < -1 В этом интервале (-4/x^2) > (4/x^5), поэтому производная положительна, и функция возрастает.

b) -1 < x < 0 В этом интервале (-4/x^2) > (4/x^5), поэтому производная положительна, и функция возрастает.

c) 0 < x В этом интервале (-4/x^2) < (4/x^5), поэтому производная отрицательна, и функция убывает.

Теперь мы можем построить график функции, учитывая вышеуказанные характеристики. Я рекомендую использовать графическое программное обеспечение или калькулятор для создания точного графика.