Question

Произведением двух иррациональных чисел из интервала (0;3) является рациональное число. Что это за числа? А) корень из 5/6 и корень из 7/6 Б) корень из 3/2 и корень из 12/3 В) корень из 2/3 и корень из 12/2 Г) корень из 7/6 и корень из 3/8

Answer 1

Это  В) корень из 2/3 и корень из 12/2

Answer 2

Для того чтобы произведение двух иррациональных чисел из интервала (0;3) было рациональным, необходимо, чтобы они были алгебраическими числами (то есть числами, которые являются корнями уравнения с целыми коэффициентами) и их произведение было рациональным числом.

Давайте рассмотрим каждый из вариантов:

А) корень из 5/6 и корень из 7/6 Эти числа являются алгебраическими числами, так как они являются корнями уравнения x^2 = 5/6 и x^2 = 7/6. Однако их произведение равно корню из (5/6) * (7/6), что равно 35/36, и это число является рациональным. Так что этот вариант подходит.

Б) корень из 3/2 и корень из 12/3 Корень из 3/2 равен sqrt(3/2), который также является алгебраическим числом. Однако корень из 12/3 равен sqrt(4), что равно 2, и это рациональное число. Таким образом, произведение этих чисел равно sqrt(3/2) * 2, что также является алгебраическим числом, но оно не является рациональным числом. Так что этот вариант не подходит.

В) корень из 2/3 и корень из 12/2 Корень из 2/3 равен sqrt(2/3), который является алгебраическим числом. Корень из 12/2 равен sqrt(6), который также является алгебраическим числом. Однако их произведение равно sqrt(2/3) * sqrt(6), что равно sqrt(2), и это число также является алгебраическим числом, но не рациональным. Так что этот вариант не подходит.

Г) корень из 7/6 и корень из 3/8 Корень из 7/6 и корень из 3/8 оба являются алгебраическими числами. Однако их произведение равно sqrt(7/6) * sqrt(3/8), что равно sqrt(21/48), и это число также является алгебраическим числом, но не рациональным. Так что этот вариант не подходит.

Итак, только вариант А (корень из 5/6 и корень из 7/6) подходит, так как произведение этих чисел равно рациональному числу 35/36.