Question

Исследовать функцию f(x)=x^2+3 делённое на x-1

Answer 1

График мне нравится. Есть, что рассказать. ПРАВИЛЬНЫЙ - второй - +/-15.
Область определения  - кроме Х= +1
Разрыв - при Х = +1
Производная функции для поиска экстрекмумов
Y' =(x^2-2x-3)/(x^2-2x+1) 
Экстремумы функции при Х=-1  - максимум на этом отрезке У= -2
при Х= 3 - минимум на втором отрезке У = +6
В пределе стремится к функции У=Х

Answer 2

Для исследования функции $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$ давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции: функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель $x - 1$ равен нулю, то есть $x \neq 1$. Таким образом, область определения функции $f(x)$ - это $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, то есть все действительные числа, кроме 1.

2. Найдем вертикальные асимптоты: так как функция имеет разрыв при $x = 1$ (из-за знаменателя), можно найти вертикальную асимптоту в этой точке. При $x \to 1^-$ и $x \to 1^+$ значение функции стремится к бесконечности и минус бесконечности соответственно. Таким образом, у нас есть вертикальные асимптоты при $x = 1$.

3. Найдем горизонтальную асимптоту: для этого рассмотрим предел функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

   $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} x = \infty$

   $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 3}{x - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to -\infty} x = -\infty$

   Итак, у функции есть горизонтальная асимптота при $y = \infty$ (горизонтальная асимптота на бесконечности).

4. Найдем точки пересечения с осями координат:

   Для оси $x$ решим уравнение $x^2 + 3 = 0$, но такое уравнение не имеет действительных корней, поэтому функция не пересекает ось $x$.

   Для оси $y$ при $x = 0$ получаем $f(0) = \frac{0^2 + 3}{0 - 1} = -3$, так что функция пересекает ось $y$ в точке $(0, -3)$.

5. Найдем экстремумы функции:

   Для этого найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю:

   $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 + 3}{x - 1}\right) = \frac{(x - 1)(2x) - (x^2 + 3)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$

   Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

   $\frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = 0$

   $x^2 - 2x - 3 = 0$

   Решая это уравнение, получаем два корня: $x = 3$ и $x = -1$.

   Теперь найдем значения функции в этих точках:

   $f(3) = \frac{3^2 + 3}{3 - 1} = \frac{12}{2} = 6$

   $f(-1) = \frac{(-1)^2 + 3}{-1 - 1} = \frac{4}{-2} = -2$

   Таким образом, у функции есть два экстремума: минимум в точке $(3, 6)$ и максимум в точке $(-1, -2)$.

6. Наконец, нарисуем график функции $f(x)$, учитывая все найденные особенности:

   • Область определения: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$
   • Вертикальная асимптота: $x = 1$