Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1. а)Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки A,B и C1. б)Найдите угол между прямой AC1 и плоскостью BCC1.

Answer 1

А) Примем ребро куба за а.
Сечение куба плоскостью, проходящей через точки A,B и C1, представляет собой прямоугольник с одной стороной, равной а, и другой, равной а√2.

б) АС1 - это диагональ куба. Её длина равна √(а²+а²+а²) = а√3.
Угол между прямой AC1 и плоскостью BCC1 - это угол АС1В.
sin(AC1B) = a/(a√3) = 1/√3 ≈  0.57735.
Этому синусу соответствует угол  0,61548 радиан или 35,26439°.

Answer 2

а) Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через точки A, B и C1, следуйте этим шагам:

1. Нарисуйте куб ABCDA1B1C1D1. Убедитесь, что вы понимаете его трехмерную структуру.

2. Проведите линию от точки A к точке B. Это будет одна из граней сечения.

3. Теперь проведите линию от точки B к точке C1. Это вторая грань сечения.

4. Нарисуйте линию от точки C1 к точке A. Это завершит сечение и образует треугольник ABC1 внутри куба.

5. Затем можно стереть все ненужные линии, оставив только треугольник ABC1.

б) Чтобы найти угол между прямой AC1 и плоскостью BCC1, сначала определите нормаль к этой плоскости. Нормаль к плоскости можно найти, используя векторное произведение векторов, лежащих в плоскости. В данном случае, векторы BC и CC1 лежат в плоскости BCC1. Затем используйте скалярное произведение между нормалью плоскости и вектором AC1, чтобы найти угол между ними с помощью формулы:

$\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{N} \cdot \mathbf{AC1}}}{{|\mathbf{N}| \cdot |\mathbf{AC1}|}}$

где:

• θ - угол между прямой AC1 и плоскостью BCC1,
• N - нормаль к плоскости BCC1,
• AC1 - вектор, задающий прямую AC1.

Сначала найдем нормаль к плоскости BCC1. Возьмем вектор BC и вектор CC1:

$\mathbf{BC} = \mathbf{C} - \mathbf{B} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B)$ $\mathbf{CC1} = \mathbf{C1} - \mathbf{C} = (x_{C1} - x_C, y_{C1} - y_C, z_{C1} - z_C)$

Теперь найдем их векторное произведение:

$\mathbf{N} = \mathbf{BC} \times \mathbf{CC1}$

Теперь найдем вектор AC1:

$\mathbf{AC1} = \mathbf{C1} - \mathbf{A} = (x_{C1} - x_A, y_{C1} - y_A, z_{C1} - z_A)$

Теперь мы можем вычислить угол θ:

$\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{N} \cdot \mathbf{AC1}}}{{|\mathbf{N}| \cdot |\mathbf{AC1}|}}$

$\theta = \arccos\left(\frac{{\mathbf{N} \cdot \mathbf{AC1}}}{{|\mathbf{N}| \cdot |\mathbf{AC1}|}}\right)$

Вычислите это выражение, чтобы найти угол θ между прямой AC1 и плоскостью BCC1.