Question

Решите уравнение 2cos²x + cosx - 1 =0

Answer 1

Cos x=t
2t²+t-1=0
D=1+(-4)×2×(-1)=1+8=9=3²
t1= -1+3/2×2= 0,5
t2=-1-3/2×2=-1

Answer 2

Для решения данного квадратного уравнения относительно переменной cos(x) следует следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в квадратном виде: $2\cos^2(x) + \cos(x) - 1 = 0$.
2. Заметим, что данное уравнение является квадратным относительно переменной $\cos(x)$.
3. Проведем замену переменной, допустим пусть $y = \cos(x)$, тогда уравнение станет $2y^2 + y - 1 = 0$.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной $y$. Давайте решим его, используя квадратное уравнение:

1. Умножим оба члена уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов: $4y^2 + 2y - 2 = 0$.
2. Теперь давайте попробуем решить уравнение, факторизуя его или используя квадратное уравнение. Однако это уравнение не факторизуется легко, поэтому воспользуемся квадратным уравнением $ay^2 + by + c = 0$, где $a = 4$, $b = 2$ и $c = -2$.
3. Решим квадратное уравнение: $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Подставим значения коэффициентов: $y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4}$. Рассчитаем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 4 + 32 = 36$. Теперь рассчитаем корни: $y = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{8} = \frac{-2 \pm 6}{8}$. Итак, $y_1 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = -1$.

Так как $y = \cos(x)$, имеем два значения для $\cos(x)$: $y_1 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = -1$.

4. Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого из найденных значений $\cos(x)$. Для $y_1 = \frac{1}{2}$ это будет $\cos(x) = \frac{1}{2}$, что соответствует $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ или $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

   Для $y_2 = -1$ это будет $\cos(x) = -1$, что соответствует $x = \pi + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Итак, решения уравнения $2\cos^2(x) + \cos(x) - 1 = 0$ в общем виде: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \pi + 2\pi n,$ где $n$ - любое целое число.