Question

В прямоугольный треугольник, катеты которого равны 10 и 15, вписан квадрат, который имеет с этим треугольником общий угол. Найти сторону квадрата

Answer 1

ДУМАЕМ
Сделали чертеж и видим, что диагональ квадрата есть высота треугольника.
РЕШЕНИЕ
Находим гипотенузу по т. Пифагора
с = √(100+225) = √325 ~18.03.
Высота по формуле 
$h= \frac{2 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }{c}$
Под корнем получается 5625
Высота h~8,32
Сторона квадрата -
a = h/√2 = √2/2*8.32~ 5.9 - ОТВЕТ

Answer 2

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AB = 10 и AC = 15, причем угол BAC прямой. Пусть также D, E, F и G - точки касания вписанного квадрата со сторонами BC, AC, AB и BG соответственно. Пусть a - сторона квадрата.

Так как квадрат вписан в треугольник и имеет общий угол с треугольником, то угол BAE также прямой. Таким образом, треугольник ABE также прямоугольный.

Мы знаем, что стороны треугольника AB и AC равны 10 и 15 соответственно. Следовательно, по теореме Пифагора:

AB^2 + AC^2 = BC^2

10^2 + 15^2 = BC^2

100 + 225 = BC^2

325 = BC^2

Теперь мы можем найти сторону BC:

BC = √325

Так как треугольник ABE прямоугольный, то применяя теорему Пифагора к нему, получим:

AE^2 + BE^2 = AB^2

a^2 + a^2 = 10^2

2a^2 = 100

a^2 = 50

a = √50

Таким образом, сторона квадрата a равна √50. Это можно упростить:

a = √(25 * 2) = 5√2.

Итак, сторона вписанного квадрата равна 5√2.