Question

Докажите тождество (cos \alpha -sin \alpha )²+sin2 \alpha =1

Answer 1

(cos а -sin а )²+sin2a =1
(сos²a + sin²a - 2*cos a* sin a )+ sin 2a = 1
1 - sin2a + sin2a = 1
1=1

Answer 2

Давайте докажем данное тождество:

Начнем с левой стороны уравнения: $(\cos \alpha - \sin \alpha)^2 + \sin^2 \alpha$

Раскроем квадрат разности: $(\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha) + \sin^2 \alpha$

Обратим внимание, что $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ (это является известным тригонометрическим тождеством).

Подставим это значение: $1 - 2 \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha$

Упростим: $1 - 2 \cos \alpha \sin \alpha + 2 \sin^2 \alpha$

Теперь заметим, что $2 \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ (это также известное тригонометрическое тождество).

Подставим это значение: $1 - 2 \cos \alpha \sin \alpha + 1 - \cos^2 \alpha$

Теперь мы видим, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.

Подставим это значение: $2 - 2 \cos \alpha \sin \alpha - \cos^2 \alpha$

Наконец, мы знаем, что $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, поэтому $-\cos^2 \alpha = -\sin^2 \alpha$.

Подставим это значение: $2 - 2 \cos \alpha \sin \alpha - \sin^2 \alpha$

Итак, мы видим, что выражение на левой стороне равно $1$, что и требовалось доказать:

$(\cos \alpha - \sin \alpha)^2 + \sin^2 \alpha = 1$