Question

Количество способов выбрать три различных числа из целых чисел 1, 2, 3, …, 23, 24 так, чтобы их сумма делилась на 3, равно ...

Answer 1

Заметим, что сумма 3 целых чисел делится на 3, если все они имеют одинаковые остатки при делении на 3, либо все они имеют разные остатки при делении на 3. Если два числа имеют одинаковые остатки, а третье число имеет другой остаток, сумма на 3 делиться не будет.

Найдем число способов выбрать 3 различных числа с разными остатками. Оно равно 8*8*8=512 – нужно выбрать одно из 8 чисел с остатком 1, одно из 8 чисел с остатком 2 и одно из 8 чисел с остатком 0. Найдем число способов выбрать 3 различных числа, делящихся нацело на 3. Оно равно числу сочетаний из 8 по 3 или 8*7*6/3!=56. Ясно, что число способов выбрать 3 числа с остатком 1 или 2 также равно 56, поэтому общее число способов выбрать 3 различных числа с одинаковыми остатками от деления на 3 равно 56*3=168.

Таким образом, всего существует 512+168=680 способов выбать 3 числа требуемым образом.

Answer 2

Для того чтобы сумма трех различных чисел делилась на 3, необходимо, чтобы каждое из чисел по отдельности делилось на 3, или чтобы остатки от деления на 3 всех трех чисел в сумме равнялись нулю.

В данном случае, у нас есть 24 числа. Из них:

• 8 чисел (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22) дают остаток 1 при делении на 3.
• 8 чисел (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23) дают остаток 2 при делении на 3.
• 8 чисел (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24) делятся нацело на 3.

Чтобы сумма трех чисел делилась на 3, необходимо выбрать либо 3 числа, каждое из которых дает остаток 0 при делении на 3, либо 1 число с остатком 1 и 2 числа с остатком 2. Таким образом, у нас есть два варианта:

1. Выбрать 3 числа, делящихся нацело на 3: C(8, 3) = 56 способов.
2. Выбрать 1 число с остатком 1 и 2 числа с остатком 2: C(8, 1) * C(8, 2) = 8 * 28 = 224 способа.

Итого, общее количество способов выбрать три различных числа из данного набора так, чтобы их сумма делилась на 3, равно 56 + 224 = 280 способов.