Question

Сходится данный ряд с помощью признаков сравнения. Сума от 1 до бесконечности: 1) ((1+n^2)/(1+n^3))^2 2) 1/ln(n+1)

Answer 1

1)12^2



2)33^3
Тип того, воооот,

Answer 2

Для обоих рядов нужно использовать признаки сравнения, чтобы определить их сходимость.

1. Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2$.

   Мы можем использовать признак сравнения с рядом $p$-порядка. Рассмотрим $p$-ряд: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$. Если $p > 3$, то $\frac{1+n^2}{1+n^3} < \frac{1}{n}$, и следовательно, $\left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2 < \frac{1}{n^2}$. Так как $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится, то и наш ряд также сходится по признаку сравнения.

2. Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)}$.

   В данном случае, можно воспользоваться интегральным признаком сравнения. Пусть $f(x) = \frac{1}{\ln(x+1)}$. Эта функция положительна и убывает на $[1, \infty)$, так как логарифм растет медленнее любой положительной степени $x$.

   Теперь рассмотрим интеграл $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\ln(x+1)} \, dx$. Для вычисления интеграла, проведем замену переменной: $u = \ln(x+1)$, откуда $du = \frac{1}{x+1} dx$. Интеграл примет вид:

   $\int \frac{1}{\ln(x+1)} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln|\ln(x+1)| + C$.

   Интеграл расходится, так как $\ln|\ln(x+1)|$ растет при $x \to \infty$.

   Следовательно, по интегральному признаку, начальный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)}$ также расходится.

Таким образом, первый ряд сходится, а второй расходится.